2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 00:32 


22/05/09

685
Мне нужно разобраться с введением множества вещественных чисел в курсе математического анализа. Читаю учебник Зорича по данному предмету. Подход там следующий. Даётся система из 16 аксиом (9 аксиом поля, 4 аксиомы порядка, аксиома связи сложения и порядка, аксиома связи умножения и порядка, аксиома непрерывности). Говорится, что множество R, удовлетворяющее данной системе аксиом, называется множеством вещественных чисел, а его элементы - вещественными числами. Всё выглядит очень приятно. Кроме того, из данной системы аксиом легко выводится ряд хорошо известных свойств вещественных чисел, довольно легко доказывается теорема существования и единственности точных граней числового множества. Смущает то, что, упоминая операции сложения и умножения, а также отношение частичного порядка, автор учебника не определяет эти операции, не даёт правила для нахождения суммы и произведения вещественных чисел, а равно и правила их сравнения.
В связи с этим первый вопрос. Нужно ли определять данные операции и давать правило сравнения, должно ли это входить в определения операций?
Представим, что я прилетел из далёкой галактики, не изучал в школе натуральные числа, не знаком с рациональными числами, не сталкивался с тем, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, то есть не знаю иррациональных чисел. Второй вопрос, в какой-то мере связанный с первым. Как доказать, что множество R, удовлетворяющее 16 аксиомам, перечисленным в книге Зорича, эквивалентно множеству точек направленной прямой и множеству бесконечных десятичных дробей?
Пожалуйста, помогите разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 09:26 


05/05/12
25
Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):
Нужно ли определять данные операции и давать правило сравнения, должно ли это входить в определения операций?

Аксиомы служат не для определения операций и отношений, а для описания требуемых от свойств для изучения следствий из них. Обычно аксиомы получаются обобщением свойств конкретных систем.

Правильные вопросы для системы аксиом:
1. Существуют ли множества с операциями и отношениями, удовлетворяющие данным аксиомам? (Кстати, такие множества называются моделями системы аксиом)
2. Конкретное множество с операциями и отношениями удовлетворяет ли данным аксиомам? (Применимы ли к нему теоремы, выведенные из аксиом?)

Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):
Представим, что я прилетел из далёкой галактики, не изучал в школе натуральные числа, не знаком с рациональными числами, не сталкивался с тем, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, то есть не знаю иррациональных чисел.
1. На чём же Вы тогда прилетели???
2. Надеюсь, Вы захватили с собой навык абстрактного мышления.

Mitrius_Math в сообщении #646797 писал(а):
Как доказать, что множество R, удовлетворяющее 16 аксиомам, перечисленным в книге Зорича, эквивалентно множеству точек направленной прямой и множеству бесконечных десятичных дробей?

Правильный вопрос: Как доказать, что множество точек направленной прямой и множество бесконечных десятичных дробей удовлетворяет 16 аксиомам?
(А так же пополнения множества рациональных чисел сечениями Дедекинда, фундаментальными последовательностями Коши)

Встречный риторический вопрос: а как в математике вообще что-то доказывают?

Желаю успеха!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.11.2012, 12:40 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 12:57 


10/02/11
6786
ну почему же, вполне правильный вопрос: все ли модели действительных чисел, удовлетворяющие аксиомам из учебника Зорича, изоморфны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 16:38 
Заморожен


14/09/10
72
Mitrius_Math, в [1] изложение строится на основе множества бесконечных десятичных дробей. В приложении «Дальнейшее развитие теории действительных чисел» указывается возможность аксиоматического подхода и доказывается, что «Любая реализация $\{x’\}$ совокупности объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, изоморфна относительно правил сравнения, сложения и умножения изученному выше множеству $\{x\}$ бесконечных десятичных дробей.»

До выхода учебника Зорича этот материал многократно и под разными углами излагался в учебной литературе [Фихтенгольц (сечения Дедекинда), Немыцкий, Слудская, Черкасова «Курс математического анализа» (последовательности рациональных чисел), ...]. Думаю, Зоричу было просто нечего добавить к уже изложенному, поэтому он ограничился ссылками.

[1] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. — М.: Наука, 1982. (в сети есть множество возможных мест, откуда можно скачать, поэтому ссылку не привожу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 18:31 


05/05/12
25
Oleg Zubelevich в сообщении #646873 писал(а):
ну почему же, вполне правильный вопрос: все ли модели действительных чисел, удовлетворяющие аксиомам из учебника Зорича, изоморфны?
Упс... Согласен. Добавлю, что это вопрос о полноте системы аксиом.
(Строго говоря я не написал, что вопрос из поста неправильный.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вещественные числа в курсе математического анализа
Сообщение20.11.2012, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
AleksandrPavlovich в сообщении #647070 писал(а):
Упс... Согласен. Добавлю, что это вопрос о полноте системы аксиом.
Это вопрос не о полноте, а о категоричности теории.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group