Функция из Q в Z

[Ktina]

Во всех рациональных точках вещественной прямой расставлены целые числа. Доказать, что найдётся отрезок, сумма чисел на концах которого не превосходит удвоенного числа в его середине.

Точное решение мне сформулировать не удалось, но сделала набросок:

По условию, в точке $0$ стоит некоторое целое число $n$, иными словами $f(0)=n$.
1. Из двух чисел $f(1)$ и $f(-1)$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена).
2. Из двух чисел $f(\frac{1}{2})$ и $f(-\frac{1}{2})$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если $f(\frac{1}{2})\ge n+1$, то из двух чисел $f(0)$ и $f(1)$, хотя бы одно должно превышать $f(\frac{1}{2})$, хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть $f(0)$, поскольку оно равно $n$. Следовательно, $f(1)\ge f(\frac{1}{2})+1\ge n+2$. Аналогично, если $f(-\frac{1}{2})\ge n+1$, то $f(-1)\ge f(-\frac{1}{2})+1\ge n+2$.
Таким образом, из двух чисел $f(1)$ и $f(-1)$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на 2.
3. Из двух чисел $f(\frac{1}{3})$ и $f(-\frac{1}{3})$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если $f(\frac{1}{3})\ge n+1$, то из двух чисел $f(0)$ и $f(\frac{2}{3})$, хотя бы одно должно превышать $f(\frac{1}{3})$, хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть $f(0)$, поскольку оно равно $n$. Следовательно, $f(\frac{2}{3})\ge f(\frac{1}{3})+1\ge n+2$. По той же причине $f(1)\ge f(\frac{2}{3})+1\ge f(\frac{1}{3})+2\ge n+3$. Аналогично, если $f(-\frac{1}{3})\ge n+1$, то $f(-\frac{2}{3})\ge f(-\frac{1}{3})+1\ge n+2$, а также $f(-1)\ge f(-\frac{2}{3})+1\ge f(-\frac{1}{3})+2\ge n+3$.
Таким образом, из двух чисел $f(1)$ и $f(-1)$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на 3.

Аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что для любого натурального $k$ из двух чисел $f(1)$ и $f(-1)$, хотя бы одно должно превышать $n$ хотя бы на $k$. Но поскольку $f(1)$ и $f(-1)$ являются лишь конечными числами, рано или поздно мы придём к противоречию, доказывающему то, что требуется в задаче.

Верны ли мои рассуждения?

[Shadow]

Думаю, что да. Но можно подойти к задаче, исходя из двух утверждений:
$\\f(a)<f(0) \Rightarrow f(a/2)<f(0)\\ f(0)<f(a) \Rightarrow f(a/2)<f(a)$
Т.е, начиная с $f(-1),f(1)$ через конечное число итераций добьемся того, что
$\\f(2^{-n})<f(0)\\ f(-2^{-n})<f(0)$