Однородное дифференциальное уравнение - интеграл.

[Vince]

Всем привет!

Не могу решить задачу из книги Демидовича по дифференциальным уравнениям:

$xdx -(y + \sqrt{x^2 + y^2})dy = 0$

Ход решения довольно очевиден:

Полагаем $y = ux$ :

$xdx -(ux + \sqrt{x^2 + u^2x^2})dy = 0$

Сокращаем на x:

$dx -(u + \sqrt{1 + u^2})dy = 0$

Или

$\frac{dy}{dx} = \frac1{u + \sqrt{1 + u^2}}$

Учитывая что

$\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u$

Имеем:

$\frac{du}{dx}x+u = \frac1{u + \sqrt{1 + u^2}}$

И после разделения переменных:

$\frac{dx}{x} = \frac{u + \sqrt{1 + u^2}}{1-u(u + \sqrt{1 + u^2})}du$

На этом этапе у меня и проблема: неопределенный интеграл функции от $u$. Я пробовал продифференцировать $\ln({1-u(u + \sqrt{1 + u^2})})$, но это не дало никаких результатов.

Заранее спасибо.

[Mitrius_Math]

Первая подстановка Эйлера поможет, но считать долго: $\sqrt{1+u^2}=t-u$. Другой вариант: $u=\tg t$.

[Vince]

Спасибо, попробую оба варианта. А что можно почитать о второй замене - для меня она совсем неочевидна, хочу разобраться досконально.

[Mitrius_Math]

Vince в сообщении #645829 писал(а):

А что можно почитать о второй замене

Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов, Крутицкая и др., с. 101.

[ewert]

Для избавления от $\sqrt{1+u^2}$ стандартных замен две: $u=\tg t$ или $u=\sh t$. Только задачка-то явно на совсем другую тему: надо вместо $y(x)$ искать $x(y)$ и уже для неё делать аналогичную подстановку $x(y)=y\cdot u(y)$.