про "о малое"

[gefest_md]

Как здесь из левого получается правое выражение?

$$\frac{(1+\mathit o(x))^2}{(x+\mathit o(x))^2}=\frac{1+\mathit o(x)}{x^2+\mathit o(x^2)},\quad x\to 0$$

Для числителя у меня вот что получается.

$$(1+\mathit o(x))^2=1+\mathit o(x)+\mathit o(x^2)$$

[Aritaborian]

Третий член отбрасываем, ибо он сам по себе есть бесконечно малая относительно $x$.

[ИСН]

Когда в американском суде дают срок типа "три пожизненных и ещё 15 лет", за этим стоит какой-то смысл: возможность амнистии, УДО или помилования, ну и традиция, наконец.
А у Вас какое оправдание написанному? Ведь первое из этих омалых поглощает второе точно так же, как пожизненный срок поглощает 15-летний.

[gefest_md]

ИСН в сообщении #644080 писал(а):

А у Вас какое оправдание написанному?

Я колеблюсь.

Мне понятнее своё доказательство равенства $\mathit o(x)+\mathit o(x)=\mathit o(x)$, чем поглощение $\mathit o(x^2).$

[Xaositect]

Возможно, Вам так будет понятнее: $1 + o(x) + o(x^2) = 1+o(x)$, так как $o(x^2) = o(x)$

[Aritaborian]

А я не то же самое писал?

[ИСН]

Может быть. Тут вопрос не математический (в этом-то смысле всё банально), а педагогический: как понятнее изложить.

[Aritaborian]

Тогда уж нужно спросить у ТС: насколько хорошо он понимает «о малое».

[ИСН]

Да, я это и собирался сделать на следующем шаге.

[bot]

Вот так до студентов, бывает, лучше доходит.
Равносильное определение о малой: $o(x)=\alpha\cdot x$, где $\alpha$ - бесконечно малая при $x\to 0$.
Тогда $o(x)+o(x^2)=\alpha x+\beta x^2=(\alpha +\beta x)\cdot x = \gamma x=o(x)$, здесь все грецкие буквы - бесконечно малые.

[gefest_md]

Aritaborian в сообщении #644130 писал(а):

Тогда уж нужно спросить у ТС: насколько хорошо он понимает «о малое».

gefest_md в сообщении #644122 писал(а):

Я колеблюсь.

Xaositect в сообщении #644124 писал(а):

Возможно, Вам так будет понятнее: $1 + o(x) + o(x^2) = 1+o(x)$, так как $o(x^2) = o(x)$

А так: $x\neq\mathit o(x)\wedge x=\mathit o(x^2)$?

bot в сообщении #644137 писал(а):

$o(x)+o(x^2)=\alpha x+\beta x^2=(\alpha +\beta x)\cdot x = \gamma x=o(x)$.

Так хорошо. Но почему $x$ в $\gamma$ не помешает?

[ИСН]

В выражении $o(x^2) = o(x)$ символ "=" имеет особенный смысл, не тот, что в каком-нибудь "2=2". В частности, там нельзя поменять стороны местами.

-- Вт, 2012-11-13, 20:40 --

gefest_md в сообщении #644144 писал(а):

Но почему $x$ в $\gamma$ не помешает?

Чему (не)* помешает?

[gefest_md]

ИСН в сообщении #644153 писал(а):

В выражении $o(x^2) = o(x)$ символ "=" имеет особенный смысл

Под $\mathit o(x)$ я понимаю множество функций. Выражение $x^2=o(x)$ я читаю про себя "$f(x)=x^2$ принадлежит $o(x).$"

[ИСН]

Это всё правильно, только я говорил о другом выражении.

-- Вт, 2012-11-13, 21:17 --

впрочем, к этому тоже относится. Видите же, что это "равно" означает вовсе не "равно"? Вот о том и речь.

[bot]

gefest_md в сообщении #644144 писал(а):

Но почему $x$ в $\gamma$ не помешает?

Не понял вопроса - гаммой я просто обозначил $\alpha+\beta x$, ясно что она б.м.