Знакочередующуюся сумма

[Sinoid]

Читая книгу, вышел на такую формулу: $\sum\limit_{m=1}^{3k}\frac{(-1)^m(6k-m)!}{m!(6k+1-2m)!}=0$. А как ее доказать? Ведь обычно такие формулы доказываются через биноминальные коэффициенты. И как их здесь применить?

[gris]

$\sum\limit_{m=1}^{3k}\dfrac{(-1)^m(6k-m)!}{m!(6k+1-2m)!}=\sum\limit_{m=1}^{3k}\dfrac{(-1)^mC^m_{6k-m}}{(6k+1-2m)}=...$

Для $k=1$ получаем $-\dfrac{C^1_5}5+ \dfrac {C^2_4}3-\dfrac{C^3_3}1=-1+2-1=0$

Для $k=2$ получаем $-\dfrac{C^1_{11}}{11}+ \dfrac {C^2_{10}}9-\dfrac{C^3_{9}}7+\dfrac{C^4_{8}}{5}- \dfrac {C^5_{7}}3+\dfrac{C^6_{6}}1=-1+5-12+14-7+1=0$

[Sinoid]

Это-то и я смог. А как в общем случае?

[bot]

Возьмите 5 коп, может и пригодятся:

$$S=\sum\limits_{m=1}^{3k}\dfrac{(-1)^m}{m}\binom{6k-m}{m-1}$$

Теперь, видимо, надо рассмотреть случай чётного и нечётного $k$.

[Sinoid]

Так это значит, что и в случае суммы, у которой в каком-либо пределе стоит целая часть переменного числа, разные случаи рассматриваются отдельно?