Область сходимости ряда. Утверждение.

[Limit79]

Ряд $\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ сходится при $x\in (-\infty;+\infty)$.

Из этого ряда получаем, что: $2x \sin(5x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)}({\sqrt{5}x})^{4n+2}2x$

Можно ли утверждать, что область сходимости второго ряда, будет такая же, что и у первого? Почему?

Спасибо.

[Sonic86]

Докажите в лоб. Пусть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ имеет $R_f=R=\infty$ и определяет функцию $f(x)$. Функция $g(x)=h(x)f(Cx^n)$. Тогда ряд Маклорена для $g(x)$ имеет тот же $R_g=R$ (выразите коэффициенты нового ряда через старый и посчитайте новый радиус через Даламбера или Коши).

[Limit79]

Sonic86
Спасибо за вариант, но это несколько сложно. Можно просто исследовать на сходимость полученный ряд.

Интересен вопрос, если есть ряд 1 с некоторой областью сходимости, из него, путем преобразований, получен ряд 2, можно ли утверждать что у второго ряда будет такая же область сходимости, как и у первого?

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #642578 писал(а):

Интересен вопрос, если есть ряд 1 с некоторой областью сходимости, из него, путем преобразований, получен ряд 2, можно ли утверждать что у второго ряда будет такая же область сходимости, как и у первого?

Нет конечно. Надо было все-таки взять $g(x)=h(x)f(t(x))$. Тогда $D(g)=t^{-1}(D(f))$ ($D$ - область сходимости). Докажите, увидите сразу.

[ИСН]

Зачем что-то доказывать. Сразу же видно: ряд сходится, когда $5x^2\in (-\infty;+\infty)$. При каких x это бывает? Ну вот.

[Limit79]

Sonic86
Понятно.

ИСН
Это можно прямо так утверждать, без доказательства?

[ИСН]

Не знаю, какие у вас требования к строгости. По-моему, вполне можно.

[Limit79]

ИСН
Хорошо, а из чего это следует?

[ИСН]

Это. Щас.

-- Сб, 2012-11-10, 18:30 --

Ну вот ряд для синуса. Когда он сходится? Когда на аргумент наложено такое-то условие. Важно ли, как обозначен аргумент? Нет, хоть $\xi$. Меняется ли радиус сходимости от умножения всего ряда на что-то? Нет.

[Limit79]

ИСН
Первое утверждение вполне понятно. А вот второе - не особо очевидно, по-крайней мере для меня. Если бы мы умножали бы ряд на константу, то да, понятно, а вот на функцию...

[ИСН]

Эта функция в каждой точке представляет собой константу. Может ли сходимость ряда поменяться от умножения на ненулевую константу?

[Limit79]

ИСН
Нет?

Константу же можно вынести из под суммы.

[ИСН]

Ну вот. Значит, в каждой точке (если только функция там не равна 0) наш ряд - умноженный на функцию, в смысле - ведёт себя так же, как и не умноженный.

[Limit79]

ИСН
Спасибо за объяснение. Значит вполне можно написать, что факт, описанный в первом посте - очевиден.

[ИСН]

...профессор удалился на полчаса, вернулся и произнёс:
- Да, я был прав, это действительно очевидно.