1. есть ли какая-нибудь зависимость между гладкостью функции и шириной её спектра?
Нет. Гладкость функции определяет лишь скорость убывания спектра
на бесконечности (чем больше гладкость, тем быстрее убывание), локально же спектр может быть каким угодно.