chx

[_20_]

Есть ли свойство:
$\frac {e^x+a^2\cdot e^{-x}} {2}=a\cdot chx$?

-- 08.11.2012, 08:10 --

нет, такого быть не может.

-- 08.11.2012, 08:33 --

Прошу найти ошибку в рассуждениях:
$x+c_1 = c \ln(y+\sqrt{y^2-c^2}) (x+c_1)/c = \ln(y+\sqrt{y^2-c^2}) e^{(x+c_1)/c} = y+\sqrt{y^2-c^2} e^{(x+c_1)/c} - y =\sqrt{y^2-c^2} e^{(2(x+c_1))/c} - 2ye^{(x+c_1)/c} + y^2= y^2-c^2 e^{(2(x+c_1))/c} - 2ye^{(x+c_1)/c} + c^2 = 0 e^{(2(x+c_1))/c} + c^2 = 2ye^{(x+c_1)/c} e^{\frac {x+c_1}{c}} + c^2 e^{- \frac {x+c_1}{c}} = 2y y = (e^{\frac {x+c_1}{c}} + c^2 e^{- \frac {x+c_1}{c}})/2 $
что должно приводиться к $y=c\cdot \ch ((x+c_1)/c)$

[ShMaxG]

Если подставить $ \[y = c\operatorname{ch} \frac{{x + {c_1}}}{c}\]$ в исходное выражение, то получится $\[x + {c_1} = c\ln c + c\ln \exp \frac{{x + {c_1}}}{c} = c\ln c + x + {c_1}\]$.

-- Чт ноя 08, 2012 10:55:13 --

Вообще известно, что обратный гиперболический косинус: $\[\operatorname{arch} x = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\]$. Так что в итоге-то там немного другой ответ будет, но тоже с гиперболическим косинусом.

[_20_]

Мне надо прийти именно к этому ответу.
Желательно без наперёд известных подстановок.

[ИСН]

Почему Вы думаете, что $c$ в том, что у Вас есть, и $c$ в том, что нужно получить - это две одинаковые буковки?
Тот же вопрос про $c_1$.

[_20_]

Потому что у Гельфанда так.

[ИСН]

Как у Гельфанда? У Гельфанда написано "Теперь, о внимательный читатель, когда ты обозначил бог знает что буковками $c$ и $c_1$, знай - в этих обозначениях верно то-то и то-то"? Простите, не верю.

[_20_]

Теперь верите?

[ИСН]

Да, теперь верю.
Тогда другой вопрос: почему Вы думаете, что $c_1$ в формуле перед словом "откуда", и $c_1$ в формуле после него - это две одинаковые буковки?

[_20_]

Потому, что это Гельфанд. По мнению уважаемых мной людей, у него каждое, даже самое маленькое изменение оправдано. Тому, что Вы предлагаете, я оправдания не вижу. У Вас есть решение или Вы, извините, голову морочеете?

[ewert]

Гельфанд мог и зевнуть, учитывая, что это всё равно не имеет ни малейшего значения.

[ИСН]

Вы видите, что написал ShMaxG? Понимаете это? Можете повторить?

[_20_]

То ewert:
Хотите ли Вы сказать, что в учебнике ошибка?

[ewert]

Нет там никакой ошибки. Переобозначать произвольные постоянные на лету, если они независимы и до тех пор, пока ни к чему не привязаны -- общепринятая практика.

[_20_]

То ИСН:
Если спрашиваете, напишу:
$x+c_1= c \ln {c \ch{(x+c_1)/c}+\sqrt c^2(\ch^2{(x+c_1)/c} -1)}$
$x+c_1= c \ln {c \ch{(x+c_1)/c}+C \sqrt (1+ \sh^2{(x+c_1)/c} -1)}$
$x+c_1= c \ln {c \ch{(x+c_1)/c}+C \sh{(x+c_1)/c}}$
$x+c_1= c \ln {c(\ch{(x+c_1)/c}+\sh{(x+c_1)/c})}$
$x+c_1= c \ln c +c \ln {\ch{(x+c_1)/c}+\sh{(x+c_1)/c}}$
$x+c_1= c \ln c +c \ln {\frac {e^{(x+c_1)/c} - e^{-(x+c_1)/c}+e^{(x+c_1)/c} + e^{-(x+c_1)/c}}{2}}$
$x+c_1= c \ln c +c \ln {\frac {e^{(x+c_1)/c} +e^{(x+c_1)/c}}{2}}$
$x+c_1= c \ln c +c \ln {e^{(x+c_1)/c}}$
$x+c_1= c \ln c +c ((x+c_1)/c)\ln {e}$
$x+c_1= c \ln c +x+c_1$

-- 08.11.2012, 16:03 --

Я согласен, что $C$ можно записать, как $C\ln C$

-- 08.11.2012, 16:05 --

Но дальше
$(x+C_1) - (x+C_1) = c\ln c$
Это меня ни на шаг не приближает к нужному решению.

[ИСН]

Цепочка преобразований верна, но вывод Ваш мне изумителен. Очевидно же, что получилось равенство типа $c_1-c_1=\text{не ноль}$. Какой вывод из этого можно сделать? Ровно такой, о котором я и говорил уже много раз (больше одного, по крайней мере): это разные буковки, хоть и выглядят одинаково.