Вычислить интеграл с точностью до 0,001

[nync]

Вычислить интеграл с точностью до 0,001
\int\limits_{0,1}^{1} \frac{ arctg(x) }{ x } dx,

\int\limits_{0,1}^{1} \frac{ arctg(x) }{ x } dx = \int\limits_{0,1}^{1}(1-\frac{x^{2} }{ 3 }+\frac{x^{4}}{ 5 }-...) dx = \left.{ x }\!\right|_{ 0.1 }^{ 1 } -\left.{ \frac{x^{3} }{ 9 } }\!\right|_{ 0.1 }^{ 1 } + \left.{\frac{x^{5}}{ 25} }\!\right|_{ 0,1 }^{ 1 } - ...

помогите дорешать пожалуйста, не мойму как придти к заданной точности, берется количество слагаемых до того момента, как очередное не станет меньше заданной точности, везде нахожу примеры где нижний предел равен 0 и не рассматриваются дополнительные слагаемые, здесь же пределы от 0,1 до 1, как считать в таком случае ?

[Sonic86]

nync в сообщении #640209 писал(а):

везде нахожу примеры где нижний предел равен 0 и не рассматриваются дополнительные слагаемые, здесь же пределы от 0,1 до 1, как считать в таком случае ?

можно так: $\int\limits_a^b = \int\limits_0^b-\int\limits_0^a$.

[nync]

то есть посчитать каждый интеграл до заданной точности и разницу потом найти, я правильно понял ?

[Someone]

Вдвое точнее.

[ewert]

Там какое-то явное недомыслие в условии. Дели, не дели -- пятьсот слагаемых всё равно понадобится.

[Sonic86]

ewert в сообщении #640267 писал(а):

пятьсот слагаемых всё равно понадобится.

$50$ наверное , но все равно много
Вообще, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1-0,1^n}{n}$ знакочередующийся, значит можно сразу считать без представления интегралов суммой: сразу считать так же, но все равно много.

Наверное надо какую-то замену сделать, чтобы получить быстро сходящийся ряд. Сильно некрасиво, но можно $x=\tg u, \arctg 0,1\leqslant u\leqslant\frac{\pi}{4}$ (биективна, $\arctg 0,1$ считается быстро, $\frac{\pi}{4}$ тоже):

$$I=\int\limits_{\arctg 0,1}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2u \ du}{\sin 2u}$$

здесь надо вычислить только ряд для $\cosec u$. Вроде бы он знакочередующийся и быстро сходится. У нас даже тема есть