пятьсот слагаемых всё равно понадобится.

наверное

, но все равно много
Вообще, ряд

знакочередующийся, значит можно сразу считать без представления интегралов суммой: сразу считать так же, но все равно много.
Наверное надо какую-то замену сделать, чтобы получить быстро сходящийся ряд. Сильно некрасиво, но можно

(биективна,

считается быстро,

тоже):

здесь надо вычислить только ряд для

. Вроде бы он знакочередующийся и быстро сходится. У нас даже тема
есть 