Дифференциальные формы в однородных координатах

[Nimza]

Я не понимаю, как вообще работать с дифференциальными формами в однородных координатах. Возьмём, например форму в $\mathbb{C}P^2$ заданную в однородных координатах как $f(w) dw_0$. Получается, что в окрестности любой точки, в которой $w_0 \neq 0$ эта форма тождественно равна нулю, потому что можно взять $w_0 = 1$, $\xi = w_1$, $\eta = w_2$ как локальные координаты в окрестности такой точки и $dw_0 = 0$. Что здесь не так?

[Oleg Zubelevich]

дифференциальные формы определяются в локальных координатах на многообразии. Введите на проективной плоскости карты с локальными координатами и в них пишите дифференциальные формы

[Nimza]

Ну это понятно. Но у меня исходно задана форма в однородных координатах. Как её перевести в локальные координаты? Если я кладу в окрестности точки с $w_0 \neq 0$ $z = \frac{w_1}{w_0}$ и $w = \frac{w_2}{w_0}$ или просто $w_0 = 1$, $z = w_1$, $w = w_2$, то получаю, что $dw_0 = 0$, то есть что в в локальных координатах $z,w$ она нулевая.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #640077 писал(а):

Ну это понятно. Но у меня исходно задана форма в однородных координатах.

ну-ну

[Nimza]

В чём дело-то? Могу даже записать форму.

$$ \Omega_{\xi} = \frac{w_1}{w_0^2} \frac{w_2 dw_0}{w_2 - \xi w_0} $$

Не понимаю я как с ней быть. Будь она в локальных координатах, я бы справился

[Bulinator]

Nimza в сообщении #640037 писал(а):

потому что можно взять $w_0=1$,

с какой это стати "можно взять"? А точка с $w_0=1+0.0000001$ куда отображается?

Вопрос поставлен некорректно.

У вас есть отображение $\mathbb{C}^3\to \mathbb{C}P^2$ (то самое определение локальных координат $z$). При отображении формы преобразуются в обратном направлении: $T*\mathbb{C}P^2\to T*\mathbb{C}^3$.

Видимо у вас есть еще дополнительное условие типа $w_i\bar w_i=1$ или еще чегой-то.

[type2b]

Пусть есть главное расслоение. Пуллбэком можно поднять любую форму с базы. Получившаяся форма будет инвариантна и горизонтальна. Обратно: для любой инвариантной горизонтальной формы имеется (и единственна) форма на базе, из которой та получается пуллбэком. Короче, если бы ваша форма была инвариантна и горизонтальна, то вы могли бы, действительно, в разных патчах класть $w_0=1$ или $w_1=1$ или еще какой выбор вложения, и получать формы на $\mathbb{C}P^2$, которые автоматически правильно сшиваются. По этой причине люди и пишут формы в однородных координатах (фубини-штуди так удобно писать, например).
Но ваша форма не горизонтальна, а только инвариантна, поэтому смысл такой записи непонятен (поэтому в разных патчах вы получаете несогласующиеся формы). Возможно, подразумевается какой-то стандартный способ сделать ее горизонтальной -- антисимметризовать, или сдвинуть на какую-то форму, но я не вижу, скажем, естественной голоморфной формы, на которую можно было бы сдвинуть...

[g______d]

В общем да, $w_0$ --- не функция на $\mathbb C\mathbb P^2$, поэтому не ясно, что такое $dw_0$.

[Nimza]

Bulinator, type2b, g______d, большое спасибо за ответы!

type2b,
подскажите, что значит "горизонтальность формы"? Можно сдвинуть на форму

$$ \tilde{\Omega}_{\xi} = -\frac{w_1}{w_0} \frac{ dw_2}{w_2 - \xi w_0} $$

Тогда

$$ -\tilde{\Omega}_{\xi} - \Omega_{\xi} = \frac{w_1}{w_0} \frac{ dw_2}{w_2 - \xi w_0} - \frac{w_1}{w_0^2} \frac{ w_2 dw_0}{w_2 - \xi w_0} = \frac{ z_1 dz_2}{z_2 - \xi} = \omega_{\xi}, $$

где $z_2 = \frac{w_2}{w_0}$, $z_1 = \frac{w_1}{w_0}$ локальные координаты в окрестности любой точки с $w_0 \neq 0$. Подскажите, пожалуйста, что нам в данном случае даёт такое представление? Предполагаю, что оно позволяет доопределить форму и в окрестности тех точек, где $w_0 = 0$.

Пусть у меня есть простейшая алгебраическая проективная кривая $X$, заданная уравнением $w_0^2 = w_1 w_2$. У суммы форм обнуляется знаменатель при $w_0 = 0$ и при $w_2 = \xi w_0$. Это даёт точки $M =[0:1:0]$, $N = [0:0:1]$ и $K=[\xi:1:\xi^2]$ на $X$ (у меня не поворачивается язык сказать, что $\omega$ голоморфна на $X$ за исключением этих трёх точек, что понимается под голоморфностью формы в однородных координатах? ). Допустим, что я хочу посчитать вычет $\omega$ в $M$,$N$,$K$. Могу ли я в случае точки $M$ взять $w_0 = \lambda$, $w_1 = 1$, $w_2 = \lambda^2$ и подставить их в форму? Или, если считать вычет в точке $K$, могу ли я взять $w_0 = 1$, $w_1 = w_1(\lambda)$, $w_2 = w_2(\lambda)$ и подставить в форму, так, что форма с $dw_0$ обнулится?

(Оффтоп)

А как Фубини-Штуди в однородных координатах выглядит?

[type2b]

горизонтальна -- значит, зануляется на векторе, касательном к слою, т.е., в данном случае, на векторе $w_0\partial_{w_0}+w_1\partial_{w_1}+w_2\partial_{w_2}$, который генерирует $w\rightarrow \lambda w$. Т.е. она не имеет компонент вдоль слоя.
Ваша форма после доопределения этому условию удовлетворяет как раз. Поэтому с ней вы можете обращаться, как будто она задана на $CP$, т.е., скажем, пользоваться патчами, где одна из $w$ равна единице. Получаемые формы будут правильно сшиваться автоматически (должны -- проверьте на всякий случай :))).
Про сингулярность, извините, сейчас некогда вникать.

Фубини-Штуди в однородных координатах есть тут: http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%E2%80%93Study_metric см. раздел "homogeneous coordinates", там, правда, эрмитова метрика, а не форма, но можете смотреть на нее как на кэлерову форму (поставить ведж между дэзэтами).

[Oleg Zubelevich]

вообщем, сей высокий штиль означает только то, что если форма в однородных координатах была получена из формы в локальных координатах формальными заменами вида

Nimza в сообщении #640200 писал(а):

$z_2 = \frac{w_2}{w_0}$, $z_1 = \frac{w_1}{w_0}$

то эта форма хорошая потому, что по определению это просто другая запись соответствующей формы в локальных координатах. Если форма в однородных координатах так не представляется, то это непойми-что -- как раз то с чего начал ТС:

Nimza в сообщении #640037 писал(а):

$f(w) dw_0$

. При этом никакого канонического способа из этого не-пойми-чего сделать форму не существует.

[type2b]

ага :)

[Nimza]

Спасибо! Но всё-таки, один важный момент я ещё не понял. Вот есть у меня форма в локальных координатах

$$ \omega_{\xi} = \frac{z_1 dz_2}{z_2 - \xi}, $$

где $z_1 = \frac{w_1}{w_0}$, $z_2 = \frac{w_2}{w_0}$. Формально она определена лишь в окрестности тех точек, где $w_0 \neq 0$. Я правильно понял, что переход к однородным координатам позволяет её определить на всём $\mathbb{C}P^2$ и в частности применять к ней теорему о полной сумме вычетов на любой алгебраической кривой?

[Oleg Zubelevich]

так возмите и проверьте, перейдите к однородным координатам, потом опять к локальным но в другой карте, скажем где $w_1\ne 0$

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #640228 писал(а):

перейдите к однородным координатам, потом опять к локальным но в другой карте

Обратно к локальным уже не очевидно как. Да и нужно ли это, если "горизонтальную" форму можно интегрировать и в однородных координатах?