Найти наибольший общий делитель

[gris]

Почему бы его не переписать тогда как $\gcd (4n^2+1,\,2n+1)=1$?

[Whitaker]

На самом деле это красивое утверждение $\text{gcd}(4n^2+1, 2n+1)=1$
Пусть все-таки $\text{gcd}(4n^2+1, 2n+1)=d>1$ и так как $4n^2+1=2n(2n-1)+2n+1$ и $d\mid 4n^2+1, d\mid 2n+1$, то отсюда следует, что $d\mid 2n(2n-1)$, но так как $\gcd(2n, 2n-1)=1$, то возможны 2 случая:
1 случай: $d\mid 2n$, но $d\nmid 2n-1$. Здесь мы получаем, что $d\nmid 2n+1$, а это противоречие уже.
2 случай: $d\mid 2n-1$, но $d\nmid 2n$.
Здесь еще возможны 2 подслучая:
2.1 случай: $d\mid 2n+1$
Так как $d\mid 2n+1$ и $d\mid 2n-1$, то $d\mid 2$. Следовательно, $d=2$, но $\text{gcd}(4n^2+1, 2n+1)$ - нечетное. Противоречие.
2.2 случай: $d\nmid 2n+1$, то тут тоже противоречие получаем, а именно $\text{gcd}(4n^2+1, 2n+1)\neq d$

Как-то длинно получилось, но вроде верно (если конечно нигде не допустил ошибочку)

[ИСН]

И опять откуда столько букв? $4n^2+1=(2n+1)(2n-1)+2$, так что НОД может быть только 2, но и 2 он быть не может, потому что, ну.

[Whitaker]

ИСН
Да спасибо!
Ваше доказательство намного короче и изящнее. Не то, что мое
P.S. НОД не может быть равен 2, так как эти числа нечетные.