Построение биекции между R^R и N^R

[MInenr]

Добрый вечер. Простая вроде бы задача, но что-то мне кажется я не до конца правильно что-то делаю. Или просто сам результат меня удивляет.

$F = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}$
$F_1 = \{f_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{N}\}$

Возьмем элемент $f_1 \in F_1$. Начинаем строить по нему элемент $f \in F$. Для каждого $x \in \mathbb{R}$:
1. если $f_1(x) = 0 \Rightarrow f_1(x) = 0$
2. Если $f_1(x) = n \neq 0 \Rightarrow$ В двоичном представлении $x$ имеет вид $(01001000...)$. Получим из этого числа два числа (взяв соответственно четные и нечетные биты) - получим $(q,p)\in \mathbb{R}^2$. Положим, что $f(q) = pn$ (как-то информацию о $n$ мы должны использовать, а то склеим $f_1$ c различными $n$).

Обратно:
$f_1(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0$
$f_1(x) = r\Rightarrow$ взяв соответственно $l = (x, r)$ побитово скомбинировав их аналогично описанному выше получаем $f(l) = ??$ (как определить $n$ не представляю)

И это совсем не биекция, т.к. замечательно склеивает при отображении $f(x)=n$ и $f(x_1)=m$, если $p_1n = p_2m$.

Не подскажете куда думать?

[g______d]

А нужно именно явно построить биекцию, или только доказать ее существование?

[MInenr]

g______d, да, в том и проблема.

Дальнейшие рассуждения.

Пусть есть
(1) : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{N}$
Существует биекция (как описано выше) между $a$ и $(b,c)$. Следовательно каждой из (1) биективно соответствует
(2) : $f_2 : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{N}$
Следовательно рассматривая это как ф-цию двух переменных, зафиксируем первую. Тогда каждому $x$ ставиться в соответствие $f_3 : \mathbb{R} \to \mathbb{N}$:
$F_3=\{f_3:\mathbb{R} \to \mathbb{N}\}$
(3) : $f_4:\mathbb{R} \to F_3$

$F_3$ континуально.

Вопрос: как построить биекцию между $\{f_3:\mathbb{R} \to \mathbb{N}\}$ и $\mathbb{R}$?

-- 28.10.2012, 20:54 --

Есть.

Дана ф-ция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{N}$

1. Дан $x$ из $\mathbb{R}$. Разобьем $\mathbb{R}$ на счетное количество полуинтервалов длины $1$ по обе стороны от нуля. Каждому $x$ поставим в соответствие $(n, r) \in\mathbb{N}\times (0,1)$, где $n$ - номер интервала в который попал $x$, а $r = 1/x$.

Таким образом (см выше) установлена биекция $g : \mathbb{N}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Следовательно по $f$ однозначно установлена $f_1:\mathbb{N}\times\mathbb{R} \to \mathbb{N}, f_1(nx) = f(g(nx))$.

2. Фиксируя $\mathbb{R}$ в $f_1$ получаем для каждого $x$ из $\mathbb{R}$ множество $H = \{h : \mathbb{N}\to\mathbb{N}\}$.

3. Рассмотрим набор префиксных кодов для всех $\mathbb{N}$: $\operatorname{Pr}(n)$. По сути каждый элемент $H$ - последовательность натуральных чисел. Закодировав ее в виде $\operatorname{code}=\{\operatorname{Pr}(n_1), \operatorname{Pr}(n_2), \operatorname{Pr}(n_3) ,..\}$ получаем строку $(0100100111..)$ биективно соответствующую элементу в $\mathbb{R}$.

Таким образом:
1.Каждой ф-ции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{N}$ соответствует ф-ция $f_1:\mathbb{N}\times\mathbb{R} \to \mathbb{N}$. (явное построение смотри выше)
2.Каждой ф-ции $f_1$ соответствует ф-ция $f_2:\mathbb{R} \to \mathbb{H}$, где $H = \{h : \mathbb{N}\to\mathbb{N}\}$. (явное построение смотри выше)
3.Каждому элементу $H$ соответствует число из $\mathbb{N}$. (явное построение смотри выше)
Как следствие каждой ф-ции из $\mathbb{R} \to \mathbb{N}$ биективно поставлена в соответствие ф-ция из $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Правильно?