Бесконечность простых чисел вида 4m+3 [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Доказать, что простых чисел вида $4m+3$ бесконечно много.
Понимаю, что это уже известная задачка и ее доказательство везде есть, но я его не знаю. Решил сам это вывести, основываясь на доказательстве "простых бесконечно много". Прошу Вас проверить его.

Доказательство: От противного. Пусть таких простых конечное число. Обозначим их соответственно $p_1, p_2, \dots, p_k$.
Очевидно, что:
если $k$ - четное, то $p_1p_2\cdots p_k\equiv 1 \pmod 4$
если $k$ - нечетное, то $p_1p_2\cdots p_k\equiv 3 \pmod 4$
Также понятно, что для любого $k$

$$(p_1p_2\dots p_k)^2+2 \equiv 3 \pmod 4$$

Т.е. наше новое число $N=(p_1p_2\dots p_k)^2+2$ имеет вид $4m+3$
Понятно, что $N>p_k>1$ и $p_i \nmid N$ для $1\leqslant i \leqslant k$
Возможны 2 случая:
1) Само число $N=(p_1p_2\dots p_k)^2+2$ является простым и так как $N>p_k$, то сразу получаем противоречие.
2) Число $N$ - составное. Так как $N>1$, то по основной теореме арифметики он разлагается на простые множители. Число $N$ - нечетное и его простые делители имеют вид либо $4l+1$, либо $4l+3$. Но все его делители не могут иметь вид $4l+1$ (иначе число $N$ давал бы 1 по модулю 4). Значит один из его делителей имеет вид $4l+3$, но так как $p_i \nmid N$ для $1\leqslant i \leqslant k$, то этот делитель больше чем все $p_1, p_2, \dots, p_k$. Получаем противоречие.

С уважением, Whitaker.

[nnosipov]

Верно. Только обычно рассматривают $N=4p_1\ldots p_k-1$.

[Whitaker]

Но наверное от числа $N=(p_1p_2\dots p_k)^2+2$ особого вреда тоже нет?