Больше математика, чем физика (непонятная задача)

[Keter]

Прежде всего хочу попросить модераторов не переносить эту тему из раздела математики, так как считаю, что в сущности задача больше математическая.

Автомобиль равномерно движется по горизонтальной поверхности с некоторой скоростью $v_1$. От его колеса в точке $A$ отлетает камешек. Пролетев по воздуху он попадает в ту же точку. Найти скорость с которой отлетел камешек, если радиус колеса $R$. Сопротивлением воздуха пренебречь. К задаче есть рисунок, точка $A$ располагается на колесе слева:



Первое: понятно, что колесом было сделано какое-то количество оборотов. То есть получается как бы бесконечно много решений. Хотя в принципе просто будем иметь ответ типа $v=(\text{что-то там}) k$, ну разве что по $k$ будут ограничения, но это пока не важно. Для начала нужно найти это решение.

Второе: я так понял, что колесо совершает поступательное движение со скоростью машины $v_1$, а каждая точка колеса движется со скоростью $v_2$, это означает, что камешек отскочил от колеса под каким-то углом к горизонту $\varphi$ со скоростью $v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ или $v=\dfrac{v_2}{\sin \varphi}$.

Третье: не сказано, что точка $A$ в итоге должна находиться на том же расстоянии от земли, что и вначале.

[ИСН]

Keter в сообщении #632603 писал(а):

Если считать, что поступательное и вращательное движения происходят с одной и той же скоростью

Поступательная и вращательная скорость измеряются в разных единицах. Как они могут быть одинаковы? "Машина едет со скоростью, равной весу водителя" - примерно так же осмыслено.
Дальше не читал.

[Keter]

ИСН в сообщении #632607 писал(а):

Дальше не читал.

А дальше и не надо. Задача поставлена в начале. Далее идет тупая, причем довольно популярная, её интерпретация. И почему оффтопик не закрывается??

(Оффтоп)

закрывается?

-- 18.10.2012, 21:55 --

ИСН, Гильгхгафт, задача 1.68 - вот та самая интерпретация, о которой я говорил.

[ИСН]

Задачу я понял. Я не понял, как Вы её решаете. Как?

-- Чт, 2012-10-18, 23:08 --

Как в софте вокруг коряво написанных библиотек строят классы-обёртки, так Ваши рассуждения надо предварять каким-то предисловием типа "пусть $v_2$ - абсолютная величина скорости колеса, соответствующей одному только вращательному движению, без учёта поступательного. Тогда".
Так. Это я понял. Щас продвинусь дальше.

-- Чт, 2012-10-18, 23:10 --

Что значит

Keter в сообщении #632603 писал(а):

камешек отлетает под углом $\varphi=90^{\circ}$

Под углом к чему? И почему так?

[Keter]

$R$ - радиус колеса, он по условию задан.
$v_1$ - скорость, с которой происходит поступательное движение колеса.
$v_2$ - скорость обода колеса.
$v$ - скорость, с которой отлетает камешек.
$\varphi$ - угол между $\vec{v_1}$ и $\vec{v}$, под которым отлетает камешек.

-- 18.10.2012, 22:16 --

ИСН в сообщении #632615 писал(а):

Под углом к чему? И почему так?

К горизонту. Я же написал, что не нужно обращать внимание на оффтоп. Там решение той задачи. Ну которая не сильно умная.

[gris]

А если сопротивления воздуха нет и камень отлетает именно с этой точки, то нельзя ли рассмотреть движение в системе отсчёта машины? Линейная скорость данной точки колеса по модулю будет как раз равна поступательной скорости машины. Вы, наверное, именно это и имели в виду?

[EtCetera]

У меня в глазах двоится.

[Keter]

Удалил оффтоп, там бред был. Теперь сформулирована задача.

Цитата:

Автомобиль равномерно движется по горизонтальной поверхности с некоторой скоростью. От его колеса в точке $A$ отлетает камешек. Пролетев по воздуху он попадает в ту же точку. Найти скорость с которой отлетел камешек, если радиус колеса $R$. Сопротивлением воздуха пренебречь. К задаче есть рисунок, точка $A$ располагается на колесе слева: (в первом сообщении)

-- 18.10.2012, 22:23 --

EtCetera, Вам только кажется.

gris, это я имел ввиду здесь.
А тут совершенно другой случай. Препод сказал: нужно учитывать, что скорости поступательного и вращательного движений колеса разные.

-- 18.10.2012, 22:30 --

А что если пойти через угловую скорость?

-- 18.10.2012, 22:53 --

Берем ИСО относительно центра колеса, направляем ось $x$ вправо, горизнтально.

$$\begin{cases} R \sin \beta_0 + \omega Rt \cos \beta_0 - \dfrac{gt^2}{2}=R \sin \beta_1, \\ R \cos \beta_0 - \omega Rt \sin \beta_0 = R \cos \beta_1, \\ \omega t=\beta_1-\beta_0+2 \pi k. \end{cases}$$

Где $\beta_0$ - угол между горизонтом и линией, проведенной через центр колеса и точку отрыва камешка.
$\beta_1$ - угол угол между горизонтом и линией, проведенной через центр колеса и точку куда попал камешек.

-- 18.10.2012, 23:16 --

Вот это прикольно: $v=\sqrt{\pi k g R}$, как и в той задаче.

[TOTAL]

Откуда точно вылетел камень и куда точно прилетел?

[Keter]

TOTAL, вылетил из точки $A$ на рисунке и влетел в туже точку.

[Утундрий]

Keter
Тут дела фтом шта калитцо свиазано, а камишык ни связаный. Вод он и литит свабодна. Паэтаму нада галилейа, а калесо пусдь катицца.

[TOTAL]

Keter в сообщении #632978 писал(а):

TOTAL, вылетил из точки $A$ на рисунке и влетел в туже точку.

Что такое "та же точка"? Автомобиль скрылся за поворотом, а камень остался, где был? И про какую скорость камня спрашивается? Если у камня есть реактивный двигатель, то он летит с любой скоростью. Если скорость камня как-то связана со скоростью автомобиля, то как?

[Батороев]

Выдвину свою версию:
Мгновенный центр скоростей (МЦС) колеса находится в нижней точке обода.
Направление скорости любой точки перпендикулярно линии, соединяющей эту точку с МЦС.
Скорость этой точки по модулю $v_i=v_2\dfrac {L_i}{R}$, где $L_i$ - расстояние от точки до МЦС.

В т. А скорость направлена под углом $45^\circ $ к горизонтали, $v_A=v_2\sqrt{2}$.
Отсюда вывод, что камешек в горизонтальном направлении полетит с той же скоростью $v_2$.
Остается обсчитать задачу по вертикали, что и было сделано топик-стартером в предыдущей теме.
Скорее всего, претензии преподавателя были направлены на неверные пояснения ТС к своему решению.

-- 20 окт 2012 12:01 --

И кстати, формальный ответ ТС не верный. ТС в ответе получает скорость автомобиля, а в задаче требуется скорость в т. А.

[Keter]

TOTAL, автомобиль движется прямолинейно и равномерно со скоростью $v_1$, с такой же скоростью происходит и поступательное движение колеса. В свою очередь обод колеса имеет скорость $v_2$. В какой-то момент камешек, застрявший в шине отлетает от обода колеса в точке $A$, как показано на рисунке. И пролетев некоторое время, за которое колесо сделало какое-то количество оборотов, попадает в ту же точку $A$, где будет находиться эта точка не ясно, я так думаю, что там же.

Цитата:

В т. $A$ скорость направлена под углом...

Батороев, почему $45^{\circ}$, ведь скорости вращательного движения (обода) и поступательного (автомобиля) разные? Вот если бы $v_1=v_2$, то камень отлетел бы под углом $\varphi=45^{\circ}$ к горизонту. А так...

[TOTAL]

Keter в сообщении #633063 писал(а):

TOTAL, автомобиль движется прямолинейно и равномерно со скоростью $v_1$, с такой же скоростью происходит и поступательное движение колеса. В свою очередь обод колеса имеет скорость $v_2$. В какой-то момент камешек, застрявший в шине отлетает от обода колеса в точке $A$, как показано на рисунке. И пролетев некоторое время, за которое колесо сделало какое-то количество оборотов, попадает в ту же точку $A$, где будет находиться эта точка не ясно, я так думаю, что там же.

Еще раз:
Что такое "та же точка"?
Камень отлетел от колеса по какому правилу?
Точка $A$ на колесе - это точка в положении цифры 9 на часах или произвольная точка?