Теория чисел и групп.

[bot]

ИСН в сообщении #632788 писал(а):

Или может, VAL сейчас выкатит альтернативное предложение

Уже выкатил

VAL в сообщении #632745 писал(а):

А какой порядок может быть у элементов в группе порядка 9?

[VAL]

ИСН в сообщении #632788 писал(а):

(Или может, VAL сейчас выкатит альтернативное предложение.)

И выкачу...

-- 19 окт 2012, 15:37 --

Deceember в сообщении #632784 писал(а):

VAL
ИСН
Как я понял, порядок элемента группы, это та степень, в которую надо возвести элемент группы g чтобы получить e

Верно.

Цитата:

(Это всегда вообще можно сделать?)

В конечной группе - всегда. Доказывается тривиально: рано или поздно степени начнут повторятся, а перед этим обязательно получится $e$.

Цитата:

Если существует такое g, что любой элемент группы можно выразит через g^n то группа называется циклической.У циклической группы порядок элементов имеет вид
e b c d
1 4 2 4

Вроде.

Верно.

Цитата:

У нециклической могу выписать.

Чтобы быстрее было - я сам. У нейтрального элемента порядок - 1, а у остальных -2.

Цитата:

И что нам эти порядки дают?

Многое. В частности, решение задачи.
А дальше вопрос, который уже задали я и bot.

[lek]

Deceember в сообщении #632784 писал(а):

У меня теория групп не профильный предмет в вузе, но я очень хочу доразбираться, а время очень поджимает.

Почти все необходимое было высказано (подсказано) выше. Добавлю еще тройку тривиальных утверждений. Используйте их и будет вам счастье

1. Порядок элемента делит порядок группы.
2. Порядок прямого произведения групп равен произведению порядков сомножителей.
3. Прямое произведение двух изоморфных (нетривиальных) циклических групп простого порядка - нециклическая абелева группа.

Подробности в книге М. Холла "Теория групп" (раздел 4.4). Скачать можно здесь.

[Deceember]

Все отлично))) Я понял) Спасибо что повозились со мной)

А что насчет разложения группы по подгруппе и фактор группы. Как это объяснить простым языком?

[ИСН]

То было как бы умножение групп, а это как бы деление. Поэтому, кстати, и обозначается так.

[Deceember]

А есть пример как это делать. Не знаю, например. У Z (6 +) Подгруппа (0,3) И как разложить? Ну это самый простой что в голову пришло( И как у нее фактор-группу найти?

[ИСН]

C годами научитесь видеть "сразу", а пока - by the book: подгруппа, смежные классы...

[Deceember]

Всем еще раз привет. Как говорится, чем дальше в лес, тем больше Дров. У меня оять несколько нерешаемых задачек)
1) Найти остаток от деления 20!/215
Мои размышления. 20! точно делится на 5 Поэтому ищем остаток от деления 20! на 43. Я думал рассмотреть группу 43 по умножению И думал что среди элементов 1..20 будет много обратных друг другу (типа док-во Леммы Вильсона) А нет... Все хуже... Теперь идей нет совсем.

И потом еще один напишу, тот вообще гроб для меня)

[AV_77]

А просто перемножать и приводить по модулю не пробовали? Всего 19 умножений, не так то и много.

[Sonic86]

Deceember в сообщении #634394 писал(а):

Поэтому ищем остаток от деления 20! на 43. Я думал рассмотреть группу 43 по умножению И думал что среди элементов 1..20 будет много обратных друг другу (типа док-во Леммы Вильсона) А нет... Все хуже...

вычислите $\left(\frac{p-1}{2}\right)!\pmod p$

[Deceember]

Не до конца понял вашу идею.
Например
20! сравнимо с 18!*19*20 сравнимо с 18!*36 и так далее делать? Или я что-то не так говорю?)

И нет ли способа попроще?

-- 22.10.2012, 21:57 --

Sonic86
Я понимаю, что это 21 будет))

Но только какой остаток от деления оно дает и почему? Число которое вы написали?

Точнее я вообще не знаю как его посчитать 21! по модулю 43 ничуть ( по крайней мере для меня) не лучше 20(((

-- 22.10.2012, 22:21 --

AV_77, Вашим способом посчитал, получился остаток 2. Все верно, только больно долго, целый лист исписал((

Другой вопрос, точнее их 2. Какой наилучший способ решать квадратные сравнения типа x^2 сравнимо с 43 по модулю там 82. То что я прочитал в книжках мне не нравится. Ни составление квадратичных вычетов ни какие то там общие формулы с возведением степень. Я уверен, что существует что-то красивее, но что не знаю(

[Deceember]

Sonic86
, можете дорассказывать пжлст!!!!

[VAL]

Deceember в сообщении #634417 писал(а):

AV_77, Вашим способом посчитал, получился остаток 2. Все верно, только больно долго, целый лист исписал((

Ответ верный, только откуда целый лист?
Там все в уме считается: $5!=120\euiv-9, -9\cdot6\equiv-11, -11\cdot7\equiv9, 9\cdot8\equiv-14, -14\cdot9\equiv3, 3\cdot10\equiv-13$ и т.д. Откуда лист?
Впрочем, способ Sonic86 равно короче.
Обратите внимание, что произведение чисел от 1 до 21 по модулю 43 противоположно произведению чисел от 22 до 42. И примените теорему Вильсона.

Цитата:

Другой вопрос, точнее их 2. Какой наилучший способ решать квадратные сравнения типа x^2 сравнимо с 43 по модулю там 82. То что я прочитал в книжках мне не нравится. Ни составление квадратичных вычетов ни какие то там общие формулы с возведением степень. Я уверен, что существует что-то красивее, но что не знаю(

Вы полагаете, в книжках специально плохие методы приводят, чтоб читателям труднее было?
Можно уменьшить модуль до 41. А найти все ненулевые квадраты по модулю 41 не так сложно: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 8, 23, 40, 18, 39, 21, 5, 32, 20, 10, 2(!), 37, 33, 31.

[Deceember]

Лист был, потому что я с обратной стороны пошел) МоЯ Вина. Так действительно короче.

В смысле произведение противоположно? Раньше не слышал такого опеределения(

Ну и гроб, для меня ( в продолжение того что уже обсуждали)

Ранее я выяснил, благодаря вам всем, что группа из трех элементов (Любая группа) Она всегда циклическая. Теперь другой вопрос. Как доказать что произведение двух циклических групп из трех элементов будет нециклической и абелвой группой. Мне это представили как факт и дали ссылку на учебник, где было очень сложно пока для меня рассказано. Проще не нашел, а доказательство так и не знаю(((

[ИСН]

Что значит "любая" и "всегда", когда она (группа порядка 3) тупо всего одна?