Нахождение равных целочисленных прямоугольных треугольников

[Groo]

Помогите, пожалуйста, разобраться с поиском целочисленных прямоугольных треугольников одинаковой площади.

Для нахождения двух таких треугольников приравняем их площади и решим уравнение вида $mn(m-n)(m+n)=kl(k-l)(k+l)$, где $m^2 - n^2$, $2mn$ катеты. Правая и левая части уравнения представляют собой произведение членов арифметической прогрессии на её разность. Поэтому минимальное решение при (6, 1, 5, 2) приводит к следующим треугольникам (12, 35, 37) и (20, 21, 29) с площадью 210. Ясно, что умножив каждую сторону на любое целое N, мы опять получим два прямоугольных треугольника одинаковой площади.
Для $N=2$ ($S= 840$) кроме найденных треугольников (24, 70, 74) и (40, 42, 58) существует еще и третий (15, 112, 113).
Для $N=3$ аналогичным способом находятся 3 треугольника.

Появляются следующие вопросы:

1. Как доказать, что при $S= 840 $ получается минимальное решение для трех треугольников?
2. Как найти следующую площадь (после 210) для двух треугольников?
3. Как решить задачу для четырех треугольников?

[Cash]

В лоб.
Берете площади по порядку $S=1..Max$ и по всем $d|2S$, $d \leq \sqrt{2S}$ проверяете - является ли квадратом $d^2+(2S/d)^2$.
Не используя никаких ухищрений и оптимизаций $S<1000000$ на моем слабеньком ноуте он шерстит за 12 секунд.
Одно значение с 4-мя треугольниками там есть.

-- Ср окт 17, 2012 17:45:32 --

Цитата:

Не используя никаких ухищрений и оптимизаций.

Одно все таки было. $S$ четно. (вначале посчитал, что кратно 4, что, конечно же неверно)
P.S. Правильнее в названии темы не равные, а равновеликие.

[Groo]

Cash, спасибо.

Однако, таким методом решить подобную задачу на олимпиаде не получится.
Видимо, существует способ нахождения пифагоровых троек для равновеликих треугольников через порождающие числа. Но по теме больше ничего найти не могу.

[Cash]

Это задача с олимпиады???
Откуда, если не секрет?
Если знать уровень - проще решение найти
Но я сильно сомневаюсь, что ее можно решить без привлечения техники

[Groo]

Посмотрю дома - в сборниках советских олимпиад был аналог, только замаскированный под диофантово уравнение, вроде бы.

Задача о нахождении нескольких равновеликих прямоугольных треугольников была известна, по крайней мере, еще Льюису Кэрролу и математическое решение тех времен известно. Только в литературе можно натолкнуться на конечный результат без промежуточных выкладок, наверное просто плохо ищу.

[Cash]

По теме - можете посмотреть Серпинского "Пифагоровы треугольники", если еще не смотрели.
Я сам сейчас посмотрел и убедился - помощь компьютера здесь просто необходима.
У себя нашел еще одну промашку - площадь пифагорова треугольника кратна 6.

Но этот метод (перебор площадей) слишком медленный и подходит для площадей до порядка нескольких миллиардов - дальше уже вряд ли можно оптимизировать.

Перебор с другой стороны, по всем пифагоровым треугольникам, выглядит более перспективно, но... Значения площадей нужно где-то хранить и мы упираемся в ресурсы где-то на том же пороге.
Значит, чтобы перепрыгнуть этот порог нам нужно как-то избирательно подходить и перебирать не всё...