Выпучивание стержней/пластин.

[swarog46]

Добрый день.

вдруг появились трудности, с решением задачи выпучивания стержня, жестко закрепленного с обоих концов.
необходимо найти величину изгиба:$v(x)$
изначально решаю уравнение:
$EI_{x}v''''+Pv''=0$
$P$ вроде как сила которая давит на стержень с обоих концов.
$EI_{x}$ жесткость стержня.
Граничные условия соотв: $v(0)=v(l)=0$ и на отсутствие смещения: $v'(0)=v'(l)=0$

Дальше вроде как в общем виде решение получается такого вида: $v(x) = \frac{{}c_{2} \frac{\sin(\sqrt{P}x)}{\sqrt{P}}+c_{1} \frac{\cos({\sqrt{P} x})}{\sqrt{P}}}{\sqrt{P}}+c_{4} x+c_{3}$

И, собственно подставляя граничные условия получается, что возможно только тривиальное решение, для коэф $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4} = 0$
мне же необходима величина прогиба, которая соответственно этим постоянным нулевая.

В чем я ошибаюсь, подскажите пожалуйста.

пользовался Теория Упругости(Ландау), Механика деформируемого тела(Работников).

[Zai]

Поэкспериментируйте с тонкой металлической линейкой. Смещение по первой моде потери устойчивости - синуисодально. Из условия несжимаемости стержня однозначно находится амплитуда синусоиды.

[swarog46]

а что такое собственно это условие несжимаемости?
я вроде разобрался с задачей, и амплитуду возможно найти вроде как только вариацией Ритца или каким ещё приближением.

[KAM]

Вы выписали два граничных условия: на функцию и на её производную. Условия на функцию - это условия на смещения. А на производную - условия на повороты.

Из этих условий следует, что стержень имеет жёсткую и скользящую заделку по краям. А следовательно там возникают реакции опор. Которые у Вас не входят в уравнения изогнутой оси стержня. Вообще говоря, это задача статически не определима.

Кстати, если стержень жёстко закреплён, то выпучивания не должно быть.
С точки зрения сопротивления материалов Вы сможете найти форму потери устойчивости, с точностью до амплитуды.

[EvgenyGR]

Прогиб, отклонение перпендикулярно оси стержня, и смещения вдоль оси связаны только через не линейные члены. Это так называемая геометрическая нелинейность. И при линейной постановки их отбрасывают и получаются два не зависимых уравнения. Из-за трудностей решения систем не линейных уравнений, если все же необходимо определить когда такое «выпучивание» начнется, используется подход Эйлера к расчету потери устойчивости сжатых по оси стержней.

-- Пт окт 19, 2012 14:45:44 --

KAM в сообщении #632642 писал(а):

Кстати, если стержень жёстко закреплён, то выпучивания не должно быть.

Подход Эйлера, вроде, как раз для такого случая. Во всяком случае потрея устойчивости для защемленного стржня так же возможна.
Физически потеря устойчивости означает, что при некотором поперечном отклонении продольного сжатого стержня, стержень уже не сможет распрямиться. Задача так и решается, как поиск условия существования не тривиального решения у однородного уравнения.

[KAM]

Если стержень жёстко закреплен с двух концов, то в принципе прикладывать силу к одному из концов бессмысленно. Он всё равно не должен сдвинуться (конец же закреплён).
Правильней была бы формулировка "скользящая заделка" для одного из краёв.
P.S. Ладно, придирки... я и все понял контекст...

[swarog46]

Как будут выглядеть доп условия на скользящую заделку?
Я не очень понимаю о чем вы говорите.
Вроде сказал, что амплитуду можно найти через выч методы.

[EvgenyGR]

swarog46 в сообщении #633713 писал(а):

Как будут выглядеть доп условия на скользящую заделку?

Все такие уравнения выводятся через вариационный подход. Распишите гамильтониан (если статика, то только потенциальную энергию упругих деформаций и работа внешних сил) поварьируйте по допустимым перемещениям и граничные условия вылезут сами, заодно и увидите что перемещениями вдоль оси и поперек связанны только нелинейными членами.

[KAM]

Цитата:

Как будут выглядеть доп условия на скользящую заделку?

Повороты и прогибы равны нулю, а продольное смещение разрешается.
Соответственно появляются неизвестная поперечная реакция и реактивный момент.

[EvgenyGR]

В принципе, могу и без расчетов сказать что у Вас будет при численном анализе. Вам придется задать вектор нагрузки не вертикально, а с небольшой горизонтальной составляющей. До определенных нагрузок, решение будет вести себя вполне прилично. Немного увеличили нагрузку, немного подрало смещение. Но в некий момент при очень небольшом увеличении нагрузки, смещения вырастут многократно. Верхний конец стержня запросто может оказаться ниже нижнего закрепленного конца.

-- Пн окт 22, 2012 09:40:41 --

KAM в сообщении #633983 писал(а):

Повороты и прогибы равны нулю, а продольное смещение разрешается.

Продольные смещения не входят в линеной постанвки для прямых стержней. Т.е так как Вы сказали в линейной постанвке будет все тоже жесткое защемление концов стержня.

[KAM]

EvgenyGR в сообщении #633984 писал(а):

Продольные смещения не входят в линеной постанвки для прямых стержней. Т.е так как Вы сказали в линейной постанвке будет все тоже жесткое защемление концов стержня.

Хорошо. Возьмите прямолинейный стержень и жёстко заделайте его с обоих концов. Так чтобы они не могли перемещаться и поворачиваться. Приложите к одному из концов продольную силу. И мы посмотрим на потерю устойчивости жёстко защемлённого стержня.

Если линейный перемещения не входят в уравнения, это не значит, что их нет.

P.S. А зачем задавать "вектор нагрузки не вертикально, а с небольшой горизонтальной составляющей"?

[EvgenyGR]

Вот именно возьмите стержень введите перемещения средний линии перпендикулярно стержню и продольно ему. Получите систему (линейных) уравнений и все сами увидите. А потом почитайте про задачу Эйлера о потери устойчивости стержня.

-- Вт окт 23, 2012 19:34:56 --

KAM в сообщении #634843 писал(а):

P.S. А зачем задавать "вектор нагрузки не вертикально, а с небольшой горизонтальной составляющей"?

А затем, что при продольном сжатии прямого стержня (в нелинейной постановке) точное решение (без ошибок машинного округления) прогиба не дает, для любого сколь угодно тонкого стержня, он просто расплющется в блин при чудовещных нагрузках, но не прогнется. Это решение (расплющеный блин) не устойчивое, но оно есть, в нелинейной постановке. При численном расчете прогиб произойдет за чсет ошибок округления, чем точнее будите считать тем позже, а оно Вам надо, изучать ошибки машинного округления?

[KAM]

EvgenyGR в сообщении #634890 писал(а):

Вот именно возьмите стержень введите перемещения средний линии перпендикулярно стержню и продольно ему. Получите систему (линейных) уравнений и все сами увидите. А потом почитайте про задачу Эйлера о потери устойчивости стержня.

Вы уходите от начального спора. Жёсткое защемление концов запрещает перемещения во все стороны. В таком случае продольная сила, приложенная к одному из краёв будет компенсироваться реакцией опоры в этом крае. И никакого выпучивания не будет, стержень останется на напряжённым.
Приклейте (прибейте гвоздями, прикрутите шурупами) к полу тонкую линейку с двух концов. Потом попробуйте её с одного конца продольно сжать. Мне кажется, пока клей (гвозди, шурупы) будут держаться никакой задачи устойчивости не получиться.

В классической задаче Эйлера закрепления: подвижный и неподвижный шарнир.

EvgenyGR в сообщении #634890 писал(а):

KAM в сообщении #634843 писал:
P.S. А зачем задавать "вектор нагрузки не вертикально, а с небольшой горизонтальной составляющей"?

А затем, что при продольном сжатии прямого стержня (в нелинейной постановке) точное решение (без ошибок машинного округления) прогиба не дает, для любого сколь угодно тонкого стержня, он просто расплющется в блин при чудовещных нагрузках, но не прогнется. Это решение (расплющеный блин) не устойчивое, но оно есть, в нелинейной постановке. При численном расчете прогиб произойдет за чсет ошибок округления, чем точнее будите считать тем позже, а оно Вам надо, изучать ошибки машинного округления?

Не понял.
Поясните пожалуйста, о каком векторе нагрузки Вы говорите. Что такое вертикальная и горизонтальная составляющие вектора нагрузки? (Давайте привяжемся к стержню и называть продольная и поперечная составляющие.)

Решение задачи Эйлера строиться в предположении, что появляется прогиб у стержня, при продольном сжатии. Т.е. кроме продольного укорочения стержня, есть ещё перемещения поперечные в отсутствие поперечных нагрузок.

О численном расчёте я не говорил, и не понимаю причём здесь численный метод.

[EvgenyGR]

Да не я ухожу, а Вы не слушает. В линейные уравнения для прогиба стержня продольные (вдоль оси) перемещения просто не входят. Вы просто не сможете, при всем желании учесть, защемлен там стержень или нет. В линейной постановке принципиально нельзя определить прогиб при осевом сжатии. В нелинейной постановки (с учетом геометрической нелинейности) так же не будет прогиба при чистом осевом сжатии, будет просто сжатие стержня, но это решение неустойчиво при силе сжатия выше определенной величины. Более того там неоднозначные решения при достаточно сильном сжатии. Стержень может выгнуться с одни горбом, а может с двумя (в разные стороны), а может и стремя и так далее (правда все эти решения неустойчивы). Как-то так.

-- Ср окт 24, 2012 10:28:44 --

KAM в сообщении #635109 писал(а):

Поясните пожалуйста, о каком векторе нагрузки Вы говорите. Что такое вертикальная и горизонтальная составляющие вектора нагрузки? (Давайте привяжемся к стержню и называть продольная и поперечная составляющие.)

Я считаю что стержень стоит вертикально. Горизонтальная состовляющая - поперечная, вертикальная = продольная.

[KAM]

EvgenyGR в сообщении #635118 писал(а):

Да не я ухожу, а Вы не слушает. В линейные уравнения для прогиба стержня продольные (вдоль оси) перемещения просто не входят.

Вы говорите о решении задачи, а я говорю о её формулировке и переходе к математической модели. Когда говорят о жёстком смещении, то подразумевается (обычно) запрещение перемещений во всех направлениях и запрещении поворотов.

EvgenyGR в сообщении #635118 писал(а):

Вы просто не сможете, при всем желании учесть, защемлен там стержень или нет.

Это учитывается не во время решения уравнений, а при формулировки задачи.

Ещё раз напомню, что в постановке задачи Эйлера на зря даны подвижный и неподвижный шарниры. Один (подвижный) может смещаться и там не возникает реакции. К нему прикладывают силу... А вот другой шарнир (неподвижный) не может перемещаться. И только поэтому возникает задача об устойчивости статического равновесия. Иначе было бы движение или сила компенсировалась бы реакцией опоры в точке приложения, а стержень остался бы не нагруженным.


KAM в сообщении #635109 писал(а):
Поясните пожалуйста, о каком векторе нагрузки Вы говорите. Что такое вертикальная и горизонтальная составляющие вектора нагрузки? (Давайте привяжемся к стержню и называть продольная и поперечная составляющие.)

EvgenyGR в сообщении #635118 писал(а):

Я считаю что стержень стоит вертикально. Горизонтальная состовляющая - поперечная, вертикальная = продольная.

А куда (в какую точку стержня) прикладывается горизонтальная (поперечная) составляющая вектора нагрузки?