2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Целые кольца
Сообщение14.10.2012, 13:56 
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей:

$A, B$ -- кольца, $B$ цело над $A$; $q_{1}\subset q_{2}\subset B$ -- простые идеалы. Требуется доказать, что если $q_{1}\cap A=q_{2}\cap A$, то $q_{1}=q_{2}$.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение14.10.2012, 18:45 
Можно, например, сначала разобрать случай, когда $q_1\cap A=q_2\cap A$ — максимальный идеал в $A$ (доказывается, что тогда $q_1$ и $q_2$ тоже максимальные), а потом свести все к нему локализацией.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение16.10.2012, 19:58 
Первое утверждение доказал, только не понимаю, что именно за локализация и почему общий случай можно свести к рассмотренному?
Спасибо!

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение17.10.2012, 00:24 
Semenov в сообщении #631734 писал(а):
Первое утверждение доказал, только не понимаю, что именно за локализация и почему общий случай можно свести к рассмотренному?
Спасибо!

Предлагается рассмотреть локализацию кольца $A$ в простом идеале $q_1\cap A=q_2\cap A$ (ну, и кольца $B$ относительно той же мультипликативной системы). Идеал $q_1\cap A=q_2\cap A$ в локализации станет максимальным, нужно только проверить, что при локализации ничего не испортится.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 19:27 
у меня возник еще один вопрос. А почему $q_{1} \cap A$ - простой идеал, точнее, почему это вообще идеал?

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 19:49 
Это прообраз простого идеала $q_1$ относительно гомоморфизма колец $A\to B$.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 19:52 
Извините, не понимаю, почему такой прообраз...?

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 20:02 
$A\to B$ — вложение колец потому что.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 20:22 
А как мы пользуемся тем, что $B$ цело над $A$?

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 22:20 
Без этого неверно, что если пересечение максимально, то и исходный идеал максимален.

 
 
 
 Re: Целые кольца
Сообщение18.10.2012, 23:14 
А как воспользоваться целостностью здесь?
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group