Целые кольца

[Semenov]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с такой задачей:

$A, B$ -- кольца, $B$ цело над $A$; $q_{1}\subset q_{2}\subset B$ -- простые идеалы. Требуется доказать, что если $q_{1}\cap A=q_{2}\cap A$, то $q_{1}=q_{2}$.

[apriv]

Можно, например, сначала разобрать случай, когда $q_1\cap A=q_2\cap A$ — максимальный идеал в $A$ (доказывается, что тогда $q_1$ и $q_2$ тоже максимальные), а потом свести все к нему локализацией.

[Semenov]

Первое утверждение доказал, только не понимаю, что именно за локализация и почему общий случай можно свести к рассмотренному?
Спасибо!

[apriv]

Semenov в сообщении #631734 писал(а):

Первое утверждение доказал, только не понимаю, что именно за локализация и почему общий случай можно свести к рассмотренному?
Спасибо!

Предлагается рассмотреть локализацию кольца $A$ в простом идеале $q_1\cap A=q_2\cap A$ (ну, и кольца $B$ относительно той же мультипликативной системы). Идеал $q_1\cap A=q_2\cap A$ в локализации станет максимальным, нужно только проверить, что при локализации ничего не испортится.

[Semenov]

у меня возник еще один вопрос. А почему $q_{1} \cap A$ - простой идеал, точнее, почему это вообще идеал?

[apriv]

Это прообраз простого идеала $q_1$ относительно гомоморфизма колец $A\to B$.

[Semenov]

Извините, не понимаю, почему такой прообраз...?

[apriv]

$A\to B$ — вложение колец потому что.

[Semenov]

А как мы пользуемся тем, что $B$ цело над $A$?

[apriv]

Без этого неверно, что если пересечение максимально, то и исходный идеал максимален.

[Semenov]

А как воспользоваться целостностью здесь?
Спасибо!