Линал: ФСР

[Limit79]

Есть система уравнений:

$\left\{\begin{matrix} x_{1} +x_{2}-2x_{3}+x_{4}-x_{5}=2 \\ x_{1} +x_{2}+x_{3}-3x_{4}-x_{5}=-2 \end{matrix}\right.$

Нужно найти: "общее решение, фундаментальную систему решений и частное решение"

Применяю метод Гаусса, нахожу общее решение:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}= - \frac{2}{3} - x_{2} + \frac{5}{3} x_{4} +x_{5} \\ x_{3}= - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} x_{4} \end{matrix}\right.$

$x_{1}, x_{3}$ - базисные переменные, а $x_{2}, x_{4}, x_{5}$ - свободные.

Полагаю, что $x_{2}=x_{4}=x_{5}=0$ , нахожу частое решение:

$x_{h} = \left(\begin{smallmatrix} -\frac{2}{3}\\ 0\\ -\frac{4}{3}\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix}\right) $


Чтобы найти ФСР, решаю однородную систему, получаю:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}= - x_{2} + \frac{5}{3} x_{4} +x_{5} \\ x_{3}= \frac{4}{3} x_{4} \end{matrix}\right.$

Потом по очереди подставляю значения $x_{2},x_{4},x_{5}$ соответственно $1, 0, 0$; $0, 1, 0$ и $0, 0, 1$, и получаю:

$x^{(1)} = \left(\begin{smallmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix}\right) $ , $x^{(2)} = \left(\begin{smallmatrix} \frac{5}{3}\\ 0\\ \frac{4}{3}\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix}\right) $ , $x^{(3)} = \left(\begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix}\right) $

Это и будет искомая ФСР?

[ewert]

Limit79 в сообщении #630748 писал(а):

Это и будет искомая ФСР?

Да, если нет ошибок в арифметике. Не считая того, что вместо \bigl и \bigr надо использовать просто \left и \right.

[Limit79]

ewert
Спасибо за ответ! Да в арифметике не суть - проверю, главное, чтобы алгоритм был правильный :)

Меня смутило то, что находя ФСР, мы решали однородную систему, а не исходную неоднородную...

-- 14.10.2012, 15:13 --

Поправил ошибки в Tex'е.

[ewert]

Limit79 в сообщении #630763 писал(а):

Меня смутило то, что находя ФСР, мы решали однородную систему, а не исходную неоднородную...

Просто формулировка в том виде, как она у Вас приведена, формально неграмотна: понятие ФСР действительно имеет смысл лишь для однородных задач. Должно было стоять "фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений". Считайте, что это подразумевалось (возможно, для экономии места или там во избежание тавтологии).

[Limit79]

ewert
Я так и думал, во многих пособиях нашел понятие ФСР только для однородных систем.

Спасибо. Вопрос решен.