Equation in integers

[ins-]

Find all integer solutions of the equation: $x^3+3y^3=5z^3$.

(Оффтоп)

A riend of mine told me he rediscovered the problem. I'm posting it in response of xmaister's question.

[demontagnac]

Пишете на български език. Или руски)))

[ins-]

Some moderator told me - Bulgarian is not acceptable for some reason. My Russian is too bad. It is the reason to use English. Even my English is bad.

[ins-]

$x^3 + 8y^3 - 5y^3=5z^3$
$(x+2y)(x^2 -2xy + 4y^2)=5(z+y)(z^2 - zy + y^2)$
these are initial steps according to creator of this problem.

[nnosipov]

Выглядит довольно безнадёжно. И что дальше?

[ins-]

I'm a little angry to my friend because he knows the solution and told me that he will wait to see how difficult it is actually and what ideas people will have about the solution and then it will be posted

[ins-]

(Оффтоп)

I don't know number theory at all, but I think if you are an expert in N.T. the section "Diophantine equation of degree 3" from the following book
http://www.scribd.com/doc/38926701/Theo ... 87-49922-2
is enough to solve this equation.

[Руст]

Все сводится к нахождению рациональных точек на эллиптической кривой. Но это муторно, мне лень.

[ins-]

(Оффтоп)

A simple program probably will solve it. It is good for this equation that we can solve it in at least two different ways - first one by using elliptic curve, and the second one as I started by checking different cases and using method of infinite descent and some n.t. well and not so well known facts. I'm impatient to see the second solution because it will be more beautiful if it is not wrong.

[scwec]

1. Уравнение $x^3+3y^3-5z^3=0\qquad(1)$ имеет решение $x_0=2, y_0=-1, z_0=1$
2. Если уравнение $ax^3+by^3+cz^3=0\qquad(2)$, где $a,b,c$ - рациональные числа, имеет ненулевое рациональное решение $x_0,y_0,z_0$. то $(2)$ приводится к виду $Y^2=X^3-432(abc)^2\qquad(3)$
3. В нашем случае $a=1,b=3,c=-5$ и $x_0=2,y_0=-1,z_0=1$. $(3)$ запишется так:$Y^2=X^3-97200\qquad(4)$.
4. Группа кручения $(4)$ нулевая. Точек конечного порядка на ней нет. Ранг $(4)$ равен $1$.
Рациональных точек бесконечного порядка на $(4)$ бесконечно много и все они вырастают из одной точки путем проведения касательных и секущих.

gp > ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,0,-97200]))[1]
$%1 = 1$

5. Бесконечная (потому, что справедлив пункт $4$.) серия решений $(1)$: $x_{n+1}=x_n(b{y_n}^3-c{z_n}^3)$, $y_{n+1}=y_n(c{z_n}^3-a{x_n}^3)$, $z_{n+1}=z_n(a{x_n}^3-b{y_n}^3)$
В нашем случае ($x_0=2,y_0=-1,z_0=1$), ($x_1=4,y_1=13,z_1=11$), ($x_2=52984,y_2=-87347,z_2=-71797$) и т.д.
Приведенная серия не исчерпывает всех целых решений $(1)$. Рекуррентные формулы появились вследствие проведения касательных.
Чтобы получить все решения надо проводить еще и секущие.

[ins-]

Can you continue until we have all the solutions of this equation?

[scwec]

ins-, насколько я понял, Вас-таки интересуют все решения. Повторюсь с вариациями.
Уравнение $x^3+3y^3=5z^3$ после деления на $z^3$ переписывается так: $u^3+3v^3=5$. где $u=\frac{x}{z},v=\frac{y}{z}$. У него есть очевидное решение $u=2,v=-1$. Кубическая кривая в этом случае приводится к виду Вейерштрасса. Это нужно было в данном случае только для того, чтобы стандартными методами посчитать ранг кривой, (он равен $1$) и вычислить группу кручения (она нулевая). Отсюда (при известном рациональном решении) следует, что все остальные рациональные решения находятся известными способами, т.е. если взять любую рациональную точку на кривой, назовём её $P$, то всем остальным рациональным решениям соответствуют точки $kP$, где $k$ целое. Приведённые рекуррентные формулы позволяют вычислять точки с $k=2^n$.
Нахождение других рациональных точек производится следующим образом: берутся два решения $(u_1,v_1), (u_2,v_2)$ и уравнение прямой, проходящей через точки с этими координатами $u=v\frac{u_2-u_1}{v_2-v_1}-\frac{v_1{u_2}-u_1{v_2}}{v_2-v_1}$. Подставляя выражение для $u$ в уравнение кубической кривой, получаем уравнение третьей степени для $v$. Для него известно два решения $v_1,v_2$ и немедленно находится третье $v_3$ по теореме Виета, тут же вычисляется $u_3$. Это называется методом секущих, о котором я говорил в предыдущем сообщении. Комбинируя рекуррентные формулы (медод касательных) и метод секущих, получим все возможные рациональные точки на кубической кривой.
Числители $u,v$ дают $x,y$, а знаменатель даёт $z$ т.е. $x,y,z$ - все целые решения исходного уравнения.
Пример. Из предыдущего сообщения известны два решения $(2,-1)$ и $(\frac{-52984}{71797},\frac{87347}{71797})$. С помощью метода секущих находим третье решение
$(\frac{94871818}{19325255},-\frac{64840439}{19325255})$ и $x=94871818, y=-64840439, z=19325255$.
Общих формул, дающих выражения координат всех рациональных точек эллиптических кривых, пока не изобрели.
Если у Вас есть что-то по этому поводу, интересно будет посмотреть.

[ins-]

I asked for all the solutions because a friend of mine tried to solve this equation without elliptic curves but it is not easy at all and when he find more time he said - the solution will be posted. It is good to compare both solutions and write write some program to check the answers are correct. It is the reason ask for all the solutions.

[nnosipov]

ins- в сообщении #641731 писал(а):

the solution will be posted

Ok, very interesting. Хотелось бы надеяться, что Ваш приятель не пошутил.

[ins-]

He solved this equation in some cases and when he came to me I saw very long calculations written in paper by him but there were some missing cases