Решить функциональное уравнение

[iknow]

Найдите все функции $f:N\to N$ такие, что
$f(f(n))+f^2(n)=n^2+3n+3$ для всех натуральных $n$.

[chessar]

Легко показать, что $\forall n\in\mathbb{N}\colon f(n)\leqslant n+1$. Действительно, т.к. $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, то $\forall n\in\mathbb{N}\colon f(f(n))\geqslant1$ и значит
$f^2(n)\leqslant n^2+3n+3\Rightarrow f^2(n)<n^2+4n+4=(n+2)^2\Rightarrow f(n)\leqslant n+1$. Далее предположим, что $\exists n_0\in\mathbb{N}\colon f(n_0)<n_0+1$, тогда $f(f(n_0))+f^2(n_0)\leqslant f(n_0)+1+(n_0+1)^2<n_0+2+n_0^2+2n_0+1=n_0^2+3n_0+3$. Получили противоречие, т.е. $\forall n\in\mathbb{N}\colon f(n)\geqslant n+1$. Значит функция $f(n)=n+1$\;---\; единственное решение.