Теорема Эйлера [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Теорема: Пусть $p$ пробегает множество всех простых чисел. Тогда произведение $\prod \limits_{p}\left(1-\dfrac{1}{p}\right)^{-1}$ расходятся.

Доказательство: Докажем, что произведение $\prod \limits_{p}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$ расходится. Пусть

$$P(x)=\prod \limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}$$

Для действительного числа $u, 0<u<1$, и положительного целого $m$ мы имеем

$$\frac{1}{1-u}>\frac{1-u^{m+1}}{1-u}=1+u+\cdots+u^{m}$$

Положим $u=\frac{1}{p}$, где $p$ - простое число. Тогда из последнего неравенства следует, что для всех простых $p\leqslant x$ имеем:

$$P(x)>\prod_{p\leqslant x}\left(1+\frac{1}{p}+\cdots+\frac{1}{p^m}\right)$$

Выберем $m$ так, чтобы выполнялось неравенство $2^{m}\geqslant x$. Тогда:

$$\prod_{p\leqslant x}\left(1+\frac{1}{p}+\cdots+\frac{1}{p^m}\right)\geqslant \sum \limits_{n=1}^{[x]}\frac{1}{n}$$

Дальше я писать не буду так как все понятно там.
Вопрос такой: почему они выбирают число $m$ именно таким?
Я немного подумал и пришел к следующему выводу:
Число $[x]>1$ можно разложить на простые сомножители. Пусть для наглядности $[x]=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ и тогда в качестве $m$ можно вообще взять $m\geqslant \max\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\}$. Верно ведь?
А вот как они взяли число $m$ я вообще не понял. Объясните пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[zhoraster]

Whitaker в сообщении #628827 писал(а):

Число $[x]>1$ можно разложить на простые сомножители. Пусть для наглядности $[x]=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ и тогда в качестве $m$ можно вообще взять $m\geqslant \max\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\}$. Верно ведь?

Неверно. Например, $x$ вообще простое, тогда у Вас можно взять $m=1$, абсурд.

Но, в принципе, Вы в совершенно правильном направлении подумали. Таким выбором $m$ они гарантируют, что если $y=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\le x$, то $ \max\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k\}\le m$ (просто потому, что все простые числа не меньше двойки), поэтому $1/y$ появится при раскрытии скобок в произведении $\prod_{p\le x} (1+1/p+\dots+1/p^m)$.

[Whitaker]

zhoraster
то, что у меня ошибка это я теперь понял. Спасибо Вам.
Но Ваша мысль мне немного непонятна.
Я вот на бумажке расписал немного и получил следующее: Мы выписываем абсолютно все числа $y$ такие, что $1<y\leqslant [x]$ и для каждого из них имеется свое собственное единственное представление в виде $y=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$.
Например: степени при $p_1$ могут разными и их конечное количество.
И число $m$ можно взять таким $m\geqslant \left\{\{\alpha_1\}, \{\alpha_2\}, \cdots, \{\alpha_k\}\right\}$
Надеюсь, что я Вас правильно понял?

-- Вт окт 09, 2012 19:28:39 --

Например $x=13$, тогда $p\in \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$, a $y\in\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$. Раскладываем $y$ на множители и получаем:
Максимальной степенью двойки будет 3, максимальной степенью тройки будет 2, а у остальных 1, но $\max\{1,2,3\}=3$ и в качестве $m$ можно взять $m\geqslant 3$

P.S. Но честно говоря я все равно не понял почему и как они взяли $2^m\geqslant x$

[Sonic86]

del

-- Вт окт 09, 2012 17:04:49 --

Whitaker в сообщении #628827 писал(а):

Выберем $m$ так, чтобы выполнялось неравенство $2^{m}\geqslant x$.

Whitaker в сообщении #628827 писал(а):

А вот как они взяли число $m$ я вообще не понял. Объясните пожалуйста.

Для того, чтобы любая степень простого, входящего в $n:n\leqslant x$ содержалась в $1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+...$. Наибольшая степень, которая может входить в $n$ - это $2^m$.

-- Вт окт 09, 2012 17:09:55 --

Whitaker в сообщении #628854 писал(а):

Например: степени при $p_1$ могут разными и их конечное количество.
И число $m$ можно взять таким $m\geqslant \left\{\{\alpha_1\}, \{\alpha_2\}, \cdots, \{\alpha_k\}\right\}$

Это верно. Но это оценка для отдельного числа $n:n\leqslant x$. А нам надо, чтобы оценка была для всех $n$.... А хотя в принципе не надо - нет такой необходимости. Вполне можно рассматривать произведение

$$\prod\limits_{m_2\leqslant\log_2 x}\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{m_2}}\right)\cdot\prod\limits_{m_3\leqslant\log_3 x}\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{m_3}}\right)\cdot...\cdot\prod\limits_{m_s\leqslant\log_{p_s} x}\left(1+\frac{1}{p_s}+...+\frac{1}{p_s^{m_s}}\right), p_s\leqslant x$$

Оно тоже будет $\geqslant\sum\limits_{n=1}^x\frac{1}{n}$. Просто буков больше, а там меньше. Но менее точно. А тут - более точно. Ну и ладно...

[Whitaker]

Sonic86
zhoraster
Спасибо!