Многочлены Бернулли

[oxid]

Есть такая задача
Доказать что
$B_n(x) = \Sigma (-1) ^n B_n(1-x), где $B_n$ это многочлен Бернулли

Вроде как можно решить с помощью производящих функций, но у меня мало опыта и с рядами и с доказательствами ;(

Я пока додумался до такой штуки
$B_n(x) \Sigma n! = {-1}/($e^{-1} -1)

[chessar]

oxid в сообщении #626220 писал(а):

Доказать что
$B_n(x) = \Sigma (-1) ^n B_n(1-x)$, где $B_n$ это многочлен Бернулли

Может быть симметрию многочленов надо доказать: $B_n(x)=(-1)^nB_n(1-x)$? Что у вас за $\Sigma$ такая?

[oxid]

Блин, точно ;) Я еще и переписал неправильно.
Но как доказателсьтво строить? В смысле с чего начать?

[chessar]

oxid в сообщении #626230 писал(а):

Но как доказателсьтво строить? В смысле с чего начать?

Ну начать с определения. Что изначально взято у Вас в качестве определения полиномов Бернулли? Явная формула или характеризационная теорема?

chessar в сообщении #626226 писал(а):

симметрию многочленов

Точнее формулу дополнения.

[oxid]

Спасибо! С помощью характеризационной теоремы все очень просто получилось.

[chessar]

Пожалуйста. Хорошо, что Вы разобрались.

[oxid]

Спасибо еще раз, но тепреь у меня появился еще один вопрос
$B_{2n+1}(x)
надо найти количество корней на заданном отрезке. Скажите, в какую сторону смотреть?

[oxid]

Вообще ладно, фиг с этим примером, вот другой

Надо доказать что
$B_n(1/2) = -(1 - \frac{1}{2 ^{n-1}})B_n$

Я предполагаю, что если отношение чисел бернулли равно некоторому выражению, то и отношение соотвествующих производящих функций будет равно тому же.

$\frac{B_n(1/2)}{B_n} = -(1 - \frac{1}{2 ^{n-1}})

$\frac{ \frac{t}{ e^{\frac{t}{2} -1} } }{ \frac{t}{ e^t -1} } = -(1 - \frac{1}{2 ^{n-1}}) $

Я так понимаю что это неправильное рассуждение, т.к. права ячатсь левой не равна.

Вообще, есть где-нибудь в интеренете примеры работы с полиномами и производящими функциями?

[Sonic86]

oxid в сообщении #626966 писал(а):

Вообще, есть где-нибудь в интеренете примеры работы с полиномами и производящими функциями?

Качайте книжки, просто погуглите по словам "производящая функция". Есть Кнут Конкретная математика (для начала, например). Книжки очень легко скачивать с колхоза: bib.tiera.ru

[chessar]

oxid в сообщении #626966 писал(а):

Вообще, есть где-нибудь в интеренете примеры работы с полиномами и производящими функциями?

Про производящие функции отлично написано в "Конкретной математике" Грэхема, Кнута, Паташника.