Помогите разобраться с мат.индукцией в неравенствах.

[TamaGOch]

Прошу помощи, наставлении на правильные мысли по поводу такого вот задания:
Доказать неравенство

$2!\cdot4! ... (2n)! > ((n+1)!)^n$ при $n>1$

В правилах форума видел, что тут не любят охотников за халявой, так что вот мои задумки, прошу помочь исправить, дополнить или перенаправить ход моих мыслей:

База индукции $n=2$
$2!\cdot4!$ > (3!)^2$
$2\cdot4\cdot3\cdot2 > (3\cdot2)^2$
$48 > 36$ и это верно, База индукции доказана

Переход индукции $n$ ---> $n+1$
Тут я подумал умножить обе части неравенства на $(2(n+1))!$ т.к. $n>1$, то это, думаю, можно.
от чего в правой части получил $((n+1)!)^n\cdot(2(n+1))!$

далее, я так думаю, следует для доказательства привести правую часть в такой вот вид:
$[(n+1)!]^n\cdot(2(n+1))! =[((n+1)+1)!]^{n+1}$ (1)
п.с. далее, чтобы не было нагромождения скобок, буду писать основания степеней в скобках квадратных

так вот, попытки преобразовать в (1)
$[(n+1)!]^n\cdot(2(n+1))! = [(n+1)\cdot(n)!]^n \cdot (2n+1)! \cdot (2n+2) = $

$= (n+1)^n \cdot [(n)!]^n \cdot (2n+1)! \cdot 2 \cdot (n+1) = $

$= (n+1)^{n+1} \cdot [(n-1)!]^n \cdot n^n$

короче говоря, не могу понять, что делать дальше, быть может делать ещё одно неравенство, чтобы было больше большего, но для этого не хватает что-то догадок...помогите пожалуйста, не только решить этот пример, но и разобраться, если поможет чем-то, то в задачнике, до этого номера, даётся вот такое вот задание, требующее доказательства. по сути, его можно как-то использовать:

$n! < (\frac{n+1}2)^n$ при $n > 1$

Если как-то ошибся в написании, не обижайтесь, первый раз на форуме

[Shadow]

Для индукционного перехода левую чатсь нужно умножить на $(2n+2)!$, а правую на $(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}$. Т.е нужно доказать что $(2n+2)!>(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}$. Разделив на $(n+1)!$ все получится.

[TamaGOch]

Shadow спасибо, попробую разбираться...