Объясните про непрерывные отображения

[dmitr]

Непрерывное отображение метрических пространст непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества замкнут.
Вопрос вот в чем:
Рассмотрим такое отображение интервала на прямой в точку. интервал будет метрическим пространством с обычной метрикой и точечное множество - тоже метрическое пространство, которое замкнуто. Получается, что прообраз замкнутого множества(точки - метрического пространства) будет интервал(которое не замкнутое множество, т.к. мы можем его пополнить до отрезка). Получается что прообраз замкнутого множества является не замкнутое множество, а отображение этих метрических пространств непрерывно. В чем ошибка?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alcoholist]

dmitr в сообщении #624014 писал(а):

будет интервал(которое не замкнутое множество, т.к. мы можем его пополнить до отрезка)

не путайте замыкание с пополнением

[mihailm]

Интервал как подпространство самого себя замкнут
Открытость множества зависит от объемлющего пространства

[dmitr]

а где я спутал? я сказал что интервал это не полное метрическое пространство и его можно дополнить до полного метрического. пространства, которое будет отрезок. отрезок будет не только замкнут, но и компактен как метрическое пространство. Не вижу где я путаю?

-- 27.09.2012, 18:36 --

как он может быть замкнутым метрическим пространсвом если любая его точка содержится со своей окрестностью в нем, он же не сожержит все свои точки прикосновения?

-- 27.09.2012, 18:56 --

Все, понял, спасибо