Пределы функции двух переменных в нуле

[Someone]

usualis писал(а):

вообще то я сказал, что угол может быть любой, а приближение идет по прямой, значит угол должен быть зафиксирован
а если бы угол зависил от изменения r, тогда бы это была кривая

Откуда такие странные требования? Давайте посмотрим определение двойного предела:

$\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=l$, если для каждого $\varepsilon>0$ можно найти такое $\delta>0$, что для всех $x$ и $y$, удовлетворяющих условию $0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$, выполняется неравенство $|f(x,y)-l|<\varepsilon$.

Найдите здесь требование, чтобы отношение $k=\frac yx$ (или, что то же самое, угол $\varphi$ в полярных координатах) было постоянным.

Кстати, когда Вы переходите в двойном пределе к полярным координатам, заменяя
$\begin{cases}x-x_0=r\cos\varphi\text{,}\\ y-y_0=r\sin\varphi\text{,}\end{cases}$
то у Вас возникает ложная иллюзия, что получается предел функции одной переменной $r$, зависящей от параметра $\varphi$, который следует считать постоянным, при $r\to 0$. Это именно иллюзия. На самом деле у Вас всё равно двойной предел, только на $\varphi$ не накладывается никаких ограничений, а определение для этого случая выглядит так:

$\lim\limits_{r\to 0}}F(r,\varphi)=l$, если для каждого $\varepsilon>0$ можно найти такое $\delta>0$, что для всех $r$ и $\varphi$, удовлетворяющих условию $0<r<\delta$, выполняется неравенство $|F(r,\varphi)-l|<\varepsilon$.

[bot]

Добавлю к сказанному:
$\varphi$ при этом может болтаться как угодно.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Собссно, не добавил, а просто подчеркнул - Someone сказал об этом.