2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Уравнение a^6+4b^3=c^2 (отделено от темы ВТФ для n=3)
Сообщение07.09.2012, 14:06 
Заблокирован


27/08/12

23
Господа!
Предлагаю вашему вниманию вариант преобразования приведенного здесь уравнения $a^6+4b^3=c^2$, точнее, его варианта:
$(c-a^3)(c+a^3)=4b^3$
Обозначим:
$c-a^3=p$
Тогда: $c=p+a^3$
$4b^3=p(p+a^3+a^3)=p^2+2pa^3$
$2pa^3=4b^3-p^2$
$a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}$.
Чтобы число $a^3$ было целым числом, число $b$ должно содержать сомножитель $p$ или, наоборот, число $p$ должно быть сомножителем числа $b$, т.е. должно быть:
$b=kp$.
При этом сомножитель $p$ должен быть четным числом.
Тогда:$a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}$
Отсюда: $a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}=\frac{p(4k^{3}p-1)}{2}$.
Тогда: $c=p+a^3=p+\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}=\frac{p(4k^{3}p+1)}{2}$.
Очевидно, что $c$ целое число, так как $p$ четное число.
Не очевидно, что $a$ целое число.
Но главное, числа $(a, b, c)$ имеют общий сомножитель $p$, т.е. они не взаимно простые. Поэтому при условии, что числа $(a, b, c)$ должны быть взаимно простыми, уравнение $a^6+4b^3=c^2$ не имеет решения в целых числах.

 i  AKM:
Отделено отсюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 14:11 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):
$a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}$.
Чтобы число $a^3$ было целым числом, число $b$ должно содержать сомножитель $p$
Ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 14:29 
Заблокирован


27/08/12

23
venro
Приведите пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 14:47 


14/01/11
3031
klitemnestr в сообщении #615887 писал(а):
Приведите пример.

$b=2, p=4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 15:06 
Заблокирован


27/08/12

23
Sender
У $b=2$ и $p=4$ общий сомножитель или общий делитель $2$, так что я прав. Я привел самый простой пример преобразования исходного уравнения. Число $p$ может быть больше числа $b$ при условии, что $4b^3-p^2>0$. Приведите примеры с составными числами, содержащими нечетные сомножители.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 15:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):
Чтобы число $a^3$ было целым числом, число $b$ должно содержать сомножитель $p$ или, наоборот, число $p$ должно быть сомножителем числа $b$, т.е. должно быть:
$b=kp$.
Уж если Вы сформулировали это утверждение, Вы должны привести его доказательство, а не требовать контрпримеров, его опровергающих.
klitemnestr в сообщении #615876 писал(а):
Поэтому при условии, что числа $(a, b, c)$ должны быть взаимно простыми, уравнение $a^6+4b^3=c^2$ не имеет решения в целых числах.
Открою Вам тайну: решений не будет, даже если Вы разрешите целым числам $a$, $b$, $c$ не быть взаимно простыми (конечно, при условии $ab \neq 0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 15:49 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
klitemnestr в сообщении #615887 писал(а):
venro
Приведите пример.
$b=3, p=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 16:28 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  klitemnestr, не искажайте ники участников!
klitemnestr в сообщении #615887 писал(а):
venro
Приведите пример.

Не знаю, пользуетесь ли Вы "окном быстрого ответа" (Личный раздел --> Личные настройки --> Настройки отображения --> Показывать панель быстрого ответа в темах:), но просто кликнув на ник пользователя в верхней строке сообщения, Вы получите готовую копию в панели быстрого ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 17:01 
Заблокирован


27/08/12

23
Доказательство простое: $(abc\pm d)$ не делится на $d$. Алгебраическая сумма двух чисел, из которых одно число рано $d$, делится на $d$ только в том случае, если в состав сомножителей друго числа тоже входит сомножитель $d$.

В приведенных примерах используется число $2$ с расчетом на то,что в числителе $(4b^3-p^2)$ имеется число $4$. В этакой интерпретации число $b$ может иметь любые значения. Я думаю, вы исчерпали примеры с числами $2$ и $4$.
Приведите примеры с составными числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 17:27 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
$b=111, p=54$

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение07.09.2012, 17:33 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
klitemnestr в сообщении #615936 писал(а):
Алгебраическая сумма двух чисел, из которых одно число рано $d$, делится на $d$ только в том случае, если в состав сомножителей другого числа тоже входит сомножитель $d$.
А это неверно для составных $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение08.09.2012, 14:08 
Заблокирован


27/08/12

23
Числа $b=111$ и $p=54$ содержат общий сомножитель $3$: $b=111=3\cdot 37$; $p=54=3^3\cdot 2$.
Имеет место манипуляция с числами $2$ и $3$, содержащимися в формуле $a^3=\frac{4b^3-p^2}{2p}$ и в числах $(b,p)$:
$a^3=\frac{4\cdot 3^3\cdot37^3-(3^3\cdot 2)^2}{2\cdot3^3\cdot 2}=\frac{3^3\cdot 4(50653-27)}{3^3\cdot 4}=50626$.

$(abcde\pm knm)$ не делится на $(knm)$ [имеется ввиду, что $(a,b,c,d,e,k,n,m)$ простые числа].
Я изложил условия, при которых числа $a^3$ (не $a$) и $c$ будут целыми числами. При других условиях эти числа заведомо дробные. О чем спор?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение08.09.2012, 14:12 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
klitemnestr в сообщении #616154 писал(а):
О чем спор?
Это не спор, это констатация факта: Вы не доказали, что уравнение $a^6+4b^3=c^2$ не имеет решений. Ваше рассуждение содержит грубую ошибку (впрочем, довольно распространённую).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение08.09.2012, 14:31 
Заблокирован


27/08/12

23
Во-первых, покажите мою "грубую ошибку".
Во-вторых, я показал, что при заданном числе $b$ число $c$ является целым числом.
В-третьих, целочисленность числа $a$ под вопросом. Я не утверждаю, что оно дробное число, так же как и то, что оно может быть целым числом. Остается решить вопрос: имеет ли решение в целых числах уравнение: $a^3=\frac{4(kp)^3-p^2}{2p}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ для n=3
Сообщение08.09.2012, 14:40 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
klitemnestr в сообщении #616163 писал(а):
Во-первых, покажите мою "грубую ошибку".
На том основании, что $4b^3$ делится на $2p$, Вы делаете вывод, что $b$ делится на $p$ и пишите $b=kp$. Это --- грубейшая ошибка. Остальные Ваши изыскания смысла не имеют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 67 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group