Вероятность остатков.

dreamkiller · 10/10/11 20

Пусть а и b - два произвольных натуральных числа, $a=bq+r$ , где r -остаток от деления.
Найти вероятность того, что $r<b/2$ .

gris · 13/08/08 14451

Чего-то мне кажется, что здесь и вероятность-то определить нельзя. Разве что ограничить числа триллионом или ещё как.
Или зафиксировать первое число, а второе считать не большим его, выбираемым равновероятно. Тогда вероятность будет зависеть от первого числа.

ИСН · 18/05/06 13437 с Территории

Ещё один человек, который знает, что такое произвольное натуральное число.
Сейчас его убьют, и снова не останется ни одного.

statistonline · 06/09/12 890

$r$ равновероятно принимает любое целое значение из $\{1, ..., \min[b, q]-1\}$ . Дальше, думаю, классическое определение вероятности вполне сработает.

gris · 13/08/08 14451

По классическому надо разделить число благоприятствующих случаев на общее число случаев. А их бесконечное количество.
Конечно, можно разумно ограничить величину чисел и рассмотреть предел вероятности при раздувании этого ограничения. Но есть опасность, что он будет зависеть от параметров ограничения.

dreamkiller · 10/10/11 20

gris в сообщении #620659 писал(а):

По классическому надо разделить число благоприятствующих случаев на общее число случаев. А их бесконечное количество.

Благоприятствующих случаев также бесконечное число, поэтому в результате мы получим какое-то число, причем большее 1/2.
Я думаю, что необходимо а и b ограничить каким-нибудь N, которое затем устремить к бесконечности.

gris · 13/08/08 14451

Да, это самое разумное. Но тут предел легко угадать.

Sonic86 · 08/04/08 8556

statistonline в сообщении #620656 писал(а):

$r$ равновероятно принимает любое целое значение из $\{1, ..., \min[b, q]-1\}$ . Дальше, думаю, классическое определение вероятности вполне сработает.

По-моему, тоже сработает: выбираем число $b$ . Тогда все натуральные числа равномерно распределяются по классам вычетов по модулю $b$ . Вероятность будет равна доле соответствующих классов вычетов к $b$ . И будет для четных $b$ вероятность $\frac{1}{2}$ , для нечетных - на $\frac{1}{b}$ больше.
Т.е. нельзя построить равномерное распределение на $\mathbb{Z}$ , но можно построить равномерное распределение на $\mathbb{Z}_b$ - значения $r$ определяются на них.

Неужели я чушь несу? :roll:

dreamkiller · 10/10/11 20

Sonic86, скорее всего вы правы,тогда выходит, что вероятность стремится к 1/2.
Но почему-то преподаватель сказал, что вероятность намного больше 1/2.

Sonic86 · 08/04/08 8556

dreamkiller в сообщении #621568 писал(а):

Но почему-то преподаватель сказал, что вероятность намного больше 1/2.

Ааа, значит он, наверное, имел ввиду вариант $a,b\in [1;n], n\to +\infty$ .
Тут 3 варианта:
1. $a,b\in\mathbb{N}$ - задача бессмысленна.
2. $b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}_b$ - вероятность близка к $\frac{1}{2}$ .
3. $a,b\in [1;n], n\to +\infty$ - осмысленно, но надо посчитать :-)

Какое вероятностное пространство? :-)

dreamkiller · 10/10/11 20

Sonic86 в сообщении #621587 писал(а):

3. $a,b\in [1;n], n\to +\infty$ - осмысленно, но надо посчитать :-)

Какое вероятностное пространство? :-)

По-моему , как раз таки подразумевается вариант 3.

gris · 13/08/08 14451

А Вы постройте табличку с остатками и в ужас придёте. Ну хотя бы $10\times 10$ . Какая же там одна вторая?

Sonic86 · 08/04/08 8556

dreamkiller в сообщении #621591 писал(а):

По-моему , как раз таки подразумевается вариант 3.

Хм...
Я использовал геометрическую вероятность. Нарисовал квадрат, нарисовал прямые, нарисовал области, удовлетворяющие условию. Чисто из геометрических соображений получается все-таки $\frac{1}{2}$

(Оффтоп)

наверное, не надо ночью решать...

-- Чт сен 20, 2012 18:56:00 --

gris в сообщении #621601 писал(а):

А Вы постройте табличку с остатками и в ужас придёте. Ну хотя бы $10\times 10$ . Какая же там одна вторая?