Вероятность остатков.

[dreamkiller]

Пусть а и b - два произвольных натуральных числа, $a=bq+r$, где r -остаток от деления.
Найти вероятность того, что $r<b/2$.

[gris]

Чего-то мне кажется, что здесь и вероятность-то определить нельзя. Разве что ограничить числа триллионом или ещё как.
Или зафиксировать первое число, а второе считать не большим его, выбираемым равновероятно. Тогда вероятность будет зависеть от первого числа.

[ИСН]

Ещё один человек, который знает, что такое произвольное натуральное число.
Сейчас его убьют, и снова не останется ни одного.

[statistonline]

$r$ равновероятно принимает любое целое значение из $\{1, ..., \min[b, q]-1\}$. Дальше, думаю, классическое определение вероятности вполне сработает.

[gris]

По классическому надо разделить число благоприятствующих случаев на общее число случаев. А их бесконечное количество.
Конечно, можно разумно ограничить величину чисел и рассмотреть предел вероятности при раздувании этого ограничения. Но есть опасность, что он будет зависеть от параметров ограничения.

[dreamkiller]

gris в сообщении #620659 писал(а):

По классическому надо разделить число благоприятствующих случаев на общее число случаев. А их бесконечное количество.

Благоприятствующих случаев также бесконечное число, поэтому в результате мы получим какое-то число, причем большее 1/2.
Я думаю, что необходимо а и b ограничить каким-нибудь N, которое затем устремить к бесконечности.

[gris]

Да, это самое разумное. Но тут предел легко угадать.

[Sonic86]

statistonline в сообщении #620656 писал(а):

$r$ равновероятно принимает любое целое значение из $\{1, ..., \min[b, q]-1\}$. Дальше, думаю, классическое определение вероятности вполне сработает.

По-моему, тоже сработает: выбираем число $b$. Тогда все натуральные числа равномерно распределяются по классам вычетов по модулю $b$. Вероятность будет равна доле соответствующих классов вычетов к $b$. И будет для четных $b$ вероятность $\frac{1}{2}$, для нечетных - на $\frac{1}{b}$ больше.
Т.е. нельзя построить равномерное распределение на $\mathbb{Z}$, но можно построить равномерное распределение на $\mathbb{Z}_b$ - значения $r$ определяются на них.

Неужели я чушь несу?

[dreamkiller]

Sonic86, скорее всего вы правы,тогда выходит, что вероятность стремится к 1/2.
Но почему-то преподаватель сказал, что вероятность намного больше 1/2.

[Sonic86]

dreamkiller в сообщении #621568 писал(а):

Но почему-то преподаватель сказал, что вероятность намного больше 1/2.

Ааа, значит он, наверное, имел ввиду вариант $a,b\in [1;n], n\to +\infty$.
Тут 3 варианта:
1. $a,b\in\mathbb{N}$ - задача бессмысленна.
2. $b\in\mathbb{N}, a\in\mathbb{Z}_b$ - вероятность близка к $\frac{1}{2}$.
3. $a,b\in [1;n], n\to +\infty$ - осмысленно, но надо посчитать
Какое вероятностное пространство?

[dreamkiller]

Sonic86 в сообщении #621587 писал(а):

3. $a,b\in [1;n], n\to +\infty$ - осмысленно, но надо посчитать
Какое вероятностное пространство?

По-моему , как раз таки подразумевается вариант 3.

[gris]

А Вы постройте табличку с остатками и в ужас придёте. Ну хотя бы $10\times 10$. Какая же там одна вторая?

[Sonic86]

dreamkiller в сообщении #621591 писал(а):

По-моему , как раз таки подразумевается вариант 3.

Хм...
Я использовал геометрическую вероятность. Нарисовал квадрат, нарисовал прямые, нарисовал области, удовлетворяющие условию. Чисто из геометрических соображений получается все-таки $\frac{1}{2}$

(Оффтоп)

наверное, не надо ночью решать...

-- Чт сен 20, 2012 18:56:00 --

gris в сообщении #621601 писал(а):

А Вы постройте табличку с остатками и в ужас придёте. Ну хотя бы $10\times 10$. Какая же там одна вторая?

Хорошо. Нарисовал $100\times 100$. Получилось $0,5677$ Нарисовал $200\times 200$. Получилось $0,5632$

Отфонарно утверждаю, что погрешность $O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$! Интересно, какая она?
upd: $O\left(\frac{\ln n}{n}\right)$. Сплю...

[gris]

У меня тоже 0.5632
Сейчас нарисую для тысячи: 0.5585
Для 5000: 0.55726416
Куда катимся?

[dreamkiller]

Sonic86 в сообщении #621614 писал(а):

upd: $O\left(\frac{\ln n}{n}\right)$. Сплю...

Я получил такую же оценку, точнее что-то вроде $O\left(\frac{\ln n + \varepsilon }{ 2n}\right)$