свертка н.о.р. случайных величин

[buker]

Доброго всем времени суток. Возникла тут у меня следующая проблемка, точнее вопрос "на порассуждать"...
Пусть

$$ X_i\sim Gamma(k_i,\Theta_i),\quad \Theta_i\neq\Theta_j,\quad i,j\in\{1,2,\dots\} - \text{независимые с.в.} $$

возможно ли для произвольного $n$ в явном виде описать поведение с.в. $Y=\sum_{i=1}^nX_i$, представить её функцию распределения?
Более того, существует ли такое непрерывное (кроме нормального) распределение с.в. $X_i,i\in\{1,2,\dots\}$, что для произвольного $n$ можно в явном виде представить явный вид функции распределения с.в.

$$Y=\sum_{i=1}^n\Theta_iX_i,\quad X_i- \text{н.о.р.}$$

Буду чрезвычайно признателен за любую помощь или идею.

[alisa-lebovski]

1. Если у вас $k_i$ целые, то можно, но сложно.
2. Да, это так называемые устойчивые распределения.

[buker]

1. да, $k_i$ все целые, более того, для моей задачи их можно положить равными. Не могли бы Вы дать ссылку на методику нахождения такой суммы?

2. насколько я понимаю, устойчивыми называются распределения "инвариантные" относительно свертки и их характеристическая функция описывается представлением Леви — Хинчина. В таком случае если Гамма распределение является лишь бесконечно делимым, то как быть с коэффициентами $\Theta_i\neq1$ в формуле $Y=\sum_{i=1}^n\Theta_iX_i,\quad X_i- \text{н.о.р.}$? То есть, поскольку оно не является устойчивым, указанную сумму можно представить только в виде "извращенного" распределения (но не Гамма)?

В дополнение хотел бы поинтересоваться, существуют ли устойчивые распределения, носитель которых есть $R^+$?

[alisa-lebovski]

1. Самое простое, по-моему, это перейти к характеристическим функциям. И представить произведение дробей в виде суммы дробей (в том числе, меньших степеней) с некоторыми коэффициентами (не обязательно положительными). То есть в результате получится некая линейная комбинация гамма-распределений.

2. Да, гамма не относится к устойчивым. Поэтому для него и не получается.

3. Да, существуют устойчивые распределения на $(0,+\infty)$ - они получаются при показателе устойчивости $\alpha\in (0,1)$ и показателе асимметрии $\beta=1$.

[buker]

Спасибо большое, попробую!!

[buker]

alisa-lebovski в сообщении #620276 писал(а):

3. Да, существуют устойчивые распределения на $(0,+\infty)$ - они получаются при показателе устойчивости $\alpha\in (0,1)$ и показателе асимметрии $\beta=1$.

а почему при $\alpha\in (0,1)$ носитель будет положительным? ведь в этом случае, например логарифм характеристической функции может иметь вид

$$ \ln \varphi(t) = \left\{ \begin{matrix} it + c|t|^{\alpha}, & t \not= 0 \\ 0, & t = 0. \end{matrix} \right., $$

и соответственно носитель - вся числовая прямая. Вообще, если я правильно понимаю, наличия модуля в правой части говорит о том, что $t$ может принимать любые значения?

[alisa-lebovski]

Характеристическая функция всегда определена на всей числовой прямой, с носителем исходного распределения это никак не связано.

[buker]

спасибо. нашел книжку по устойчивым распределениям Золотарева, почитаю еще для общего развития...не подскажите, в этой книге возможно найти доказательство этого предложения (про носитель)?

[alisa-lebovski]

Этой книжки под рукой нет, а так не помню.

[buker]

alisa-lebovski в сообщении #620370 писал(а):

Характеристическая функция всегда определена на всей числовой прямой, с носителем исходного распределения это никак не связано.

что-то я ступил, как только взял ручку в руки, понял что глупость предположил. пардон за глупый вопрос)))

[buker]

По данной теме нашел интересным почитать Феллера второй том. Там довольно много написано про усточивые распределения, что самое приятное - есть примеры. Как раз указывается на распределение с $\alpha=1/2$. Другое дело, если ли у него конечные моменты? второй например? погуглив, нашел информацию, что при таком условии даже и первого может не быть

[alisa-lebovski]

Да, у устойчивых распределений при $\alpha\in (1,2)$ есть первый момент, но нет второго, а при $\alpha\in (0,1] $ нет ни первого, ни второго.

[buker]

во-во, именно это я и видел. таким образом, исходя из описанного выше, выходит, что не существует устойчивого распределения с конечными моментами (хотя бы первым) с носителем на положительной оси...очень жаль, наука беспощадна к изыскателям)))

[buker]

читаю Феллера и обнаружил странную штуку. В своей книге он приводит устойчивое распределения с $\alpha=1/2$ (я ссылался выше). Все воде бы ничего, но плотность распределения вовсе плотностью вроде и не является. Предлагается вот такая плотность:

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x^3}}e^{-1/2x},\quad x>0 $$

Поскольку справа от нуля плотность "уходит" в бесконечность, вес под кривой никак не может быть конечен. Либо я что-то путаю...

[alisa-lebovski]

Там же экспонента в степени, стремящейся к минус бесконечности, она "забивает" степенную функцию, и в результате в нуле плотность - ноль.