Матожидание максимума нескольких СВ

[gris]

Довольно легко найти математическое ожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, равномерно распределённых на отрезке $[0,1]$. Оно равно $\dfrac n{n+1}$.

Нет ли где аналогичной, можно оценочной, формулы для матожидания максимума из $n$ независимых случайных величин, нормально распределённых с одинаковым матожиданием и дисперсией?

[_Ivana]

gris, а вы неплохо умеете выделять из чужих задач отдельные самостоятельные подзадачи - что с аддитивностью работы, что сейчас. Жаль только в теме про кассиров высказывались не настолько по существу, как в теме про работу электростатического поля :)

[--mS--]

У Г.Дейвида в "Порядковых статистиках" в параграфе 4.2 есть (к сожалению, непараметрические) оценки сверху для матожидания $n$-й порядковой статистики для симметричных распределений.

[gris]

_Ivana, Вы правы, но наоборот. Читая темы, я часто задумываюсь о каком-то частном случае и обычно обсуждаю его в той же теме, но иногда боюсь наоффтопить или вообще наговорить глупостей. В теме про работу я чуть не пошёл по ложному пути и решил посоветоваться, ибо толком ни у Яблонского, ни в школьных учебниках ничего не прочитал.
Но в теме с очередями я, по моему, был прав, если оставаться в идеализированных сферично-вакуумных представлениях. Просто я был уверен, что где-то есть готовые формулы для известных распределений, типа справочника Корна. Но увы.

--mS--, спасибо. Кстати, про максимум для равномерно распределённых я прочитал в "приложении" на 127 стр. и подумал, что у Вас есть формула и для нормальных.

[_Ivana]

Найдёте формулы - можем сверить с моделированием при большом количестве покупателей.

[Александр Т.]

gris в сообщении #619690 писал(а):

Довольно легко найти математическое ожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, равномерно распределённых на отрезке $[0,1]$. Оно равно $\dfrac n{n+1}$.

Нет ли где аналогичной, можно оценочной, формулы для матожидания максимума из $n$ независимых случайных величин, нормально распределённых с одинаковым матожиданием и дисперсией?

Матожидание максимума из $n$ независимых случайных величин, распределённых по одинаковому закону имеет вид
\begin{equation*} M_n = n! \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1) \int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{n-1}} f(x_n) \,\mathop{\mathrm{d{}}}x_n \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 , \end{equation*}
где $f(x)$ — плотность вероятности распределения. Пусть $F(x)=\int_{-\infty}^x{f}(\xi)\,\mathop{\mathrm{d{}}}\xi$ — соответствующая функция распределения, тогда имеем
\begin{multline*} n! \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1) \int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{n-1}} f(x_n) \,\mathop{\mathrm{d{}}}x_n \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 \\ = n! \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1) \int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} f(x_i) \dots \int\limits_{-\infty}^{x_{n-2}} f(x_{n-1})F(x_{n-1}) \,\mathop{\mathrm{d{}}}x_{n-1} \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_i \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 \\ \dots \\ = n! \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1) \int\limits_{-\infty}^{x_1} f(x_2) \dots\int\limits_{-\infty}^{x_{i-1}} \dfrac{1}{(n-i)!}f(x_i)F^{n-i}(x_i) \,\mathop{\mathrm{d{}}}x_i \dots \mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 \\ \dots \\ = n! \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1) \int\limits_{-\infty}^{x_1} \dfrac{1}{(n-2)!}f(x_2)F^{n-2}(x_2) \,\mathop{\mathrm{d{}}}x_2\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 \\ = n \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x_1 f(x_1)F^{n-1}(x_1) \,\mathop{\mathrm{d{}}} x_1 . \end{multline*}
Таким образом
\begin{equation*} M_n = n \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x)F^{n-1}(x) \,\mathop{\mathrm{d{}}} x . \end{equation*}

Можно убедится, что для равномерного распределения полученная формула дает выражение, приведенное в процитированном сообщении.

Подставив в полученную формулу плотность вероятности и функцию распределения нормального распределения с матожиданием $a$ и дисперсией $\sigma$
\begin{equation*} f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-a}{\sigma}\right)^2\right] ,\quad F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathop\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma}\right) , \end{equation*}
получим
\begin{equation*} M_n = n \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-a}{\sigma}\right)^2\right] \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathop\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma}\right) \right]^{n-1} \,\mathop{\mathrm{d{}}} x . \end{equation*}
Произведя замену переменных
\begin{equation*} \dfrac{x-a}{\sqrt2\sigma} = x ,\quad t = \sqrt2\sigma t + a ,\quad \mathop{\mathrm{d{}}}x = \sqrt2\sigma\mathop{\mathrm{d{}}}t , \end{equation*}
получим
\begin{multline*} M_n = \dfrac{\sigma n}{\sqrt{2\pi} 2^{n-2}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} t\exp\left(-t^2\right) \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1} \,\mathop{\mathrm{d{}}} t \\ + \dfrac{a n}{\sqrt{\pi} 2^{n-1}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-t^2\right) \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1} \,\mathop{\mathrm{d{}}} t . \end{multline*}

Вычисления дают
\begin{equation*} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-t^2\right) \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1} \,\mathop{\mathrm{d{}}} t = \left. \dfrac{\sqrt\pi}{2} \dfrac{\left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^n}{n} \right|_{-\infty}^{+\infty} = \dfrac{\sqrt\pi 2^{n-1}}{n} . \end{equation*}
Осталось вычислить (или оценить) интеграл
\begin{equation*} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} t\exp\left(-t^2\right) \left[1 + \mathop\mathrm{erf}\left(t\right)\right]^{n-1} \,\mathop{\mathrm{d{}}} t . \end{equation*}

[--mS--]

Зачем нужны эти преобразования? И без многомерных интегралов всем известно, как выглядит плотность распределения максимума: как $\dfrac{dF^n(x)}{dx}=nf(x)F^{n-1}(x)$, и каким интегралом записать матожидание. Штука, которую "осталось вычислить или оценить" и есть именно та, о которой спрашивалось.

[alisa-lebovski]

Я как-то занималась такими средними максимумами. При достаточно больших $n$ лучше использовать асимптотику на основе максимум-устойчивых распределений, у которых средние явно считаются.

[--mS--]

А точно там есть хотя бы просто сходимость математических ожиданий? Мне казалось, что аппроксимация распределения, да ещё и с такой незавидной скоростью сходимости, как для нормального, не может ничего дать для аппроксимации матожидания. Но дела с этим не имела, не в курсе.

[alisa-lebovski]

Сходимость моментов есть (это не следует прямо из сходимости распределений, а доказано отдельно Пикандсом в 1968). Конкретно в гауссовском случае ошибка убывает медленно, но она сама по себе невелика.