существует ли конечное простое число? или конечен ли ряд про

[VNLEBEDEV]

существует ли конечное простое число?
или конечен ли ряд простых чисел?

известно доказательство о бесконечности этого ряда

известно также о сомнениях в этом доказательстве

известно что ныне постоянно работает программа поиска следующего числа в ряде простых чисел... но найти следующее все труднее и труднее (что впрочем очевидно)

интересны имеющиеся на этот счет соображения

[mihailm]

давайте в начале вы своими сомнениями поделитесь с нами, что бы знать хотя бы о чем речь

[gris]

Вся беда в том, что доказательство теоремы о бесконечности множества простых чисел не даёт способа построения простого числа, большего, чем первые несколько штук. Их произведение плюс единичка не делится ни на одно из этих простых, но само может быть составным. Тут получаем противоречие с отсутствием простых чисел, кроме этих. Но как построить такое число — не говорится. А так ли безупречна теорема о том, что любое число можно разложить на простые множители?

[vorvalm]

NLEBEDEV
Это похоже на библейскую притчу о Фоме неверующем.
Если по Евклиду мы не знаем следующего натурального простого числа, то уж точно знаем, что оно есть.

[Руст]

Не просто существует, а можно задать конечный алгоритм для вычисления следующего. Это не построение абстрактного базиса $R$ как векторного пространства над $Q$ при построении нелинейного отображения $f:R\to R$, удовлетворяющего условию $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Здесь еще можно сомневаться.
Что касается не достаточности ресурсов человечества для вычисления простых чисел с $10^{10^{1000}}$ знаков, то это касается не только простых чисел, но и натуральных чисел. Но от этого мы не сомневаемся, что натуральных чисел конечно.

[hurtsy]

Руст в сообщении #619098 писал(а):

Но от этого мы не сомневаемся, что натуральных чисел конечно.

Для натуральных чисел аксиоматика обеспечивает существование следующего натурального за каждым конечным натуральным. А для простых, учитывая существующие оценки разностей последовательных простых? С уважением.

[nnosipov]

gris в сообщении #619069 писал(а):

А так ли безупречна теорема о том, что любое число можно разложить на простые множители?

Эта теорема точно безупречна --- хотя бы потому, что это весьма банальное утверждение. Вероятно, Вы имели в виду единственность разложения на простые сомножители. Это тоже безупречная теорема, но уже далеко не банальная. Впрочем, ни той, ни другой теоремы для доказательства бесконечности ряда простых чисел не нужно.

[bot]

nnosipov в сообщении #619127 писал(а):

Эта теорема точно безупречна --- хотя бы потому, что это весьма банальное утверждение

Опередили, но добавлю. Банально следует из обрыва убывающих цепей. Относительно единственности - это точно не банально хотя бы потому, что в отличие от разложимости в терминах лишь одного умножения недоказуема. Где-нибудь в доказательстве неминуемо должна появиться операция сложения. В стандартном доказательстве она появляется в линейном представлении наибольшего общего делителя.

[nnosipov]

bot в сообщении #619188 писал(а):

Где-нибудь в доказательстве неминуемо должна появиться операция сложения.

Именно. Ради спортивного интереса как-то сочинил доказательство, в котором операция сложения используется ровно один раз (алгоритмом Евклида получается слишком расточительно).

[Mitrius_Math]

VNLEBEDEV в сообщении #619063 писал(а):

известно доказательство о бесконечности этого ряда

От противного. Пусть $p_1, \ p_2, \ ...\ , p_n$ - все простые числа. Составим число $q=p_1p_2...p_n+1$. Оно не делится ни на одно из чисел $p_i$. Значит, $q$ - простое. Противоречие.

[vorvalm]

$q=13\#+1=59\cdot 509.$

[epros]

vorvalm в сообщении #619272 писал(а):

$q=13\#+1=59\cdot 509.$

Это что ли опровержение приведённого выше доказательства? Офигеть…

[Mitrius_Math]

vorvalm, и? Если не ошибаюсь ни $59$, ни $509$ не делится ни на одно из чисел $13, 11, 7, 5, 3, 2$.

[Someone]

Это, вероятно, контрпример к утверждению

Mitrius_Math в сообщении #619247 писал(а):

Значит, $q$ - простое.

[nnosipov]

Mitrius_Math в сообщении #619247 писал(а):

От противного. Пусть $p_1, \ p_2, \ ...\ , p_n$ - все простые числа. Составим число $q=p_1p_2...p_n+1$. Оно не делится ни на одно из чисел $p_i$. Значит, $q$ - простое. Противоречие.

Вывод "Значит, $q$ - простое." здесь явно лишний, тем более такой вывод ещё нужно обосновать. Противоречие содержится уже в предыдущей фразе "Оно не делится ни на одно из чисел $p_i$.", ибо всякое натуральное число $q>1$ обязано иметь хотя бы один простой делитель (таковым будет наименьший натуральный делитель числа $q$, больший единицы).