Уравнение 5^p+12^p=n^(m+1)

[Ktina]

Решить уравнение

$$5^p+12^p=n^{m+1}$$

$(n, m\in\mathbb N, \quad p\in\mathbb P)$

(Неудачная попытка)

а) При нечётном $m$ имеем ровно одно решение: $5^2+12^2=13^{1+1}$
Это потому, что все простые числа, большие 2, нечётны. А раз нечётны, значит $12^p$ оканчивается на 2 или 8. Следовательно, $5^p+12^p$ оканчивается на 7 или 3 и не может быть степенью натурального числа с чётным натуральным показателем.

б) При чётном $m$ возникли проблемы. Мы уже знаем, что $p>2$ и поэтому нечётно. Выходит, $5^p+12^p$ делится на 17. У меня такое подозрение, что $5^p+12^p$ делится на 17, но не делится на 289, при всех нечётных $p$, не кратных 17. Но забыла, как это доказывать.

в) Далее, единственное простое $p$, кратное 17, это само число 17. Не понимаю, как проверить без компа, что $5^{17}+12^{17}$ - не степень. Хотя комп быстро даёт результат: http://www.wolframalpha.com/input/?i=fa ... %2B12%5E17

Прошу помочь по пунктам б) и в) , благодарю заранее!

[Профессор Снэйп]

У Вас $12^p$ или $12p$?

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #618234 писал(а):

У Вас $12^p$ или $12p$?

$$\text{Именно}\quad 12^p$$

Степень двенадцати с просточисленным показателем.

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #618237 писал(а):

Степень двенадцати с просточисленным показателем.

Да я сразу так и подумал. Просто у Вас в "попытках решения" был второй вариант. Сейчас уже исправили

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #618246 писал(а):

Да я сразу так и подумал. Просто у Вас в "попытках решения" был второй вариант. Сейчас уже исправили

Верно, единожды очепяталась, уже исправила.

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #618233 писал(а):

...оканчивается на 2 или 8.

А почему Вы по модулю $10$ сразу кинулись остатки смотреть? Может, по другим модулям что-нибудь лучше бы вышло?

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #618255 писал(а):

Ktina в сообщении #618233 писал(а):

...оканчивается на 2 или 8.

А почему Вы по модулю $10$ сразу кинулись остатки смотреть? Может, по другим модулям что-нибудь лучше бы вышло?

Просто начала решение задачи с небольшого исследования: $5^2+12^2=169$ - квадрат, $5^3+12^3=125+1728=1853\text{ (если не обсчиталась)}$ - не квадрат. Почему? Потому, что кончается на "у". В смысле, на "3". Вот и стала по модулю 10 решать.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #618259 писал(а):

Почему? Потому, что кончается на "у".

Сидел сейчас и минуты 3 тупил, почему 1853 кончается на игрек

[Sonic86]

Ktina в сообщении #618233 писал(а):

Выходит, $5^p+12^p$ делится на 17. У меня такое подозрение, что $5^p+12^p$ делится на 17, но не делится на 289, при всех нечётных $p$, не кратных 17.

$5^p+12^p\equiv 5^p+(-5)^p\equiv 5^p(1+(-1)^p)\pmod p$

Ktina в сообщении #618233 писал(а):

Не понимаю, как проверить без компа, что $5^{17}+12^{17}$

$v_{17}(5^{17}+12^{17})=1$. А если $m=n^r$, то $r\mid v_p(m)$.

[nnosipov]

Вот такое утверждение часто бывает полезно (его и стоит доказывать). Пусть $a$, $b$ --- такие неравные целые числа, что $a \equiv b \not\equiv 0 \pmod{p}$, где $p$ --- нечётное простое число. Тогда для любого натурального $n$ справедливо равенство $\nu_p(a^n-b^n)=\nu_p(a-b)+\nu_p(n)$. Здесь $\nu_p(N)$ обозначает показатель, с которым простое $p$ входит в каноническое разложение числа $N$.