Рассмотрим систему диофантовых уравнений
![$q^2+(kq-p)^2=b^2\qquad(2)$ $q^2+(kq-p)^2=b^2\qquad(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/c/40caef91fc8e8f9e33977980d1dbe5cc82.png)
, где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- натуральное число и
![$gcd(p,q)=1$ $gcd(p,q)=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/8/ea853537e6f541affed2c8a9b6947cb882.png)
.
Докажем, что она не имеет решений в натуральных числах при
![$k=3$ $k=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bdf1f27b6617a3eb7396ee40de413cf82.png)
. Отсюда и будет следовать решение задачи.
(На самом деле вопрос - при каких
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
решения существуют или не существуют, решен пока для некоторых бесконечных серий и отдельных значений
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
и т.о. является открытой проблемой).
Будем строить эллиптическую кривую, которая поможет нам решить задачу.
Перемножим
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
и
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
и результат поделим на
![$q^4$ $q^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/3/f03761c6f5eea13fb5bc8e554c5551da82.png)
. Обозначим
![$\frac{p}{q}=x, \frac{ab}{q^2}=y$ $\frac{p}{q}=x, \frac{ab}{q^2}=y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/2/eb2b49db2c27a3676c2050e1de31694982.png)
.
Тогда
![$y^2=x^4-2kx^3+(2+k^2)x^2-2kx+(1+k^2)\qquad(3)$ $y^2=x^4-2kx^3+(2+k^2)x^2-2kx+(1+k^2)\qquad(3)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/5/7c5e2021948a8c21e01b541c7cd7de9782.png)
.
Далее будем действовать по стандартной схеме Морделла.
Ообозначим
![$x=\frac{X+k}{2}$ $x=\frac{X+k}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/8/428ebb9e949433066ae6cbbd9584b23882.png)
,
![$Y=4y$ $Y=4y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/076934fdf8b125336da539ff6253c9d282.png)
.
![$(3)$ $(3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/3/cf330257519e06f13c2ecab5e25c6d2a82.png)
переходит в
![$Y^2=X^4-2(k^2-4)X^2+(k^2+4)^2\qquad(4)$ $Y^2=X^4-2(k^2-4)X^2+(k^2+4)^2\qquad(4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33e9c30ac365f483c3ac528d040da5c82.png)
.
Запишем
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
так:
![$Y^2=X^4-6\frac{k^2-4}{3}X^2+4\cdot{0}\cdot{X}+(k^2+4)^2\qquad(5)$ $Y^2=X^4-6\frac{k^2-4}{3}X^2+4\cdot{0}\cdot{X}+(k^2+4)^2\qquad(5)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/d/9dd2d37d62c5bede6ff149174a571a8b82.png)
Положим
![$c=\frac{k^2-4}{3}$ $c=\frac{k^2-4}{3}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/4/564de074b5e20c0e9473cdfb3fb368d282.png)
,
![$d=0$ $d=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/6/a561c9ace81b9b2621c9a73d14b3942682.png)
,
![$e=(k^2+4)^2$ $e=(k^2+4)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/6/726f0dc36cfc3e6239b61a7c5434695f82.png)
![$g_2=e+3c^2, g_3=-ce-d^2+c^3$ $g_2=e+3c^2, g_3=-ce-d^2+c^3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/4/1c46b1467e6e2aa6850a5c201bc5512c82.png)
Тогда при замене
![$Y=-X^2+2u+c, 2X=\frac{v-d}{u-c}$ $Y=-X^2+2u+c, 2X=\frac{v-d}{u-c}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c4c04e5ba3288959ef9e50964067c0d82.png)
уравнение
![$(5)$ $(5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/b/60b0118e989d5e395df5d657af0c264882.png)
переходит в
![$v^2=4u^3-g_2{u}-g_3$\qquad(6) $v^2=4u^3-g_2{u}-g_3$\qquad(6)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3ef84b3292f15910ca7b3ca5364189682.png)
, где
![$g_2=\frac{4}{3}(k^4+4k^2+16),g_3=-\frac{8}{27}{(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)}$ $g_2=\frac{4}{3}(k^4+4k^2+16),g_3=-\frac{8}{27}{(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/2/ca281f9e9a9326635fc49a329904328e82.png)
.
(Здесь закончилась процедура Морделла).Далее.
Умножаем
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
на
![$4^2\cdot{27^2}$ $4^2\cdot{27^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/4/f8484e8ed810c6707beafcb141d8464b82.png)
, полагаем
![$w=108v$ $w=108v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/0/6e0922af81ed216be0a56ffa5e77acf982.png)
и
![$s=36u$ $s=36u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/e/6becacfbff54d8a2311af3fc4b69e3f882.png)
получаем уравнение эллиптической кривой в стандартной форме (
![$y^2=x^3+Ax+B$ $y^2=x^3+Ax+B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/9/d5971a11cbf896eaadbc948ddc4de80282.png)
)
![$w^2=s^3-432(k^4+4k^2+16)s+3456(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)\qquad(7)$ $w^2=s^3-432(k^4+4k^2+16)s+3456(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)\qquad(7)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/b/7cb43ce7bd17e0763d6ef601d778564e82.png)
. Это уравнение кривой для любого натурального
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
.
Любому натуральному решению
![$(1),(2)$ $(1),(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c9f84eeb326f907bba143bf2bbaa7ea82.png)
cсоответствует рациональная точка на
![$(7)$ $(7)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd492780822db93bd7131849febf685c82.png)
.(Обратное в нашем случае не верно)
Для
![$k=3$ $k=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bdf1f27b6617a3eb7396ee40de413cf82.png)
уравнение
![$(7)$ $(7)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd492780822db93bd7131849febf685c82.png)
выглядит так:
![$w^2=s^3-57456s+3231360$ $w^2=s^3-57456s+3231360$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/6/056633f85045b7b1c554f8a4676e061682.png)
или
![$w^2=(s+264)(s-204)(s-60)\qquad(8)$ $w^2=(s+264)(s-204)(s-60)\qquad(8)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/8/218f1c20ee0cbcd5e2deacd079621a6e82.png)
. (Выбрав другой способ получения кривой,
мы, возможно, получили бы другую кривую без разложения правой части на удобные множители).
На кривой
![$(8)$ $(8)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e12a8dbdaae2c913bfa4963acf25fcb82.png)
есть четыре очевидные рациональные точки
![$(-264,0),(204,0),(60,0),\infty$ $(-264,0),(204,0),(60,0),\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/6/126747ad391b8d57975e5cd9ba7017ee82.png)
порядка
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. C помощью PARI/GP вычисляем ранг
![$(8)$ $(8)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e12a8dbdaae2c913bfa4963acf25fcb82.png)
. Ранг равен нулю.
Следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.
Теперь надо разобраться, нет ли еще точек конечного порядка с
![$w\ne{0}$ $w\ne{0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/3/1137557f0136a8cd3ca8c5f82f31cba382.png)
.
Дискриминант
![$D=-4\ctod(-57456)^3-27\ctod(3231360)^2=476767574360064={2^{16}}{3^{16}}{13^2}$ $D=-4\ctod(-57456)^3-27\ctod(3231360)^2=476767574360064={2^{16}}{3^{16}}{13^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/7377185852b1a02b16177186f42996e682.png)
. Следовательно, можно проводить редукцию по любым
простым
![$p\ne{2},{3},{13}$ $p\ne{2},{3},{13}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/9/dc99ec8ef2a6fac979419fc4ba04ca4682.png)
и далее использовать теорему Лутц-Нагеля о существовании гомоморфизма группы рациональных точек
![$E(Q)\to{E_p}(Z_p)$ $E(Q)\to{E_p}(Z_p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/646d0a9f8aac562ceafb01e225e7ffca82.png)
, ограничение которого
на группу кручения
![$E(Q)_{tor}$ $E(Q)_{tor}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/c/f5c8fd2a88acd147727e87be029e7ec782.png)
является вложением.
Воспользуемся тем, что
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
не входит в число делителей дискриминанта, делит
![$57456$ $57456$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/b/dfb28f93bf2a0fba49e4bf9c42bf259882.png)
и проведем редукцию по модулю
![$7$ $7$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7afe912ac7ed280f96e7cfb0f35a02782.png)
.
Группа
![${E_7}(Z_7)$ ${E_7}(Z_7)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/e/07e615cc5d10375991e5fde38c71f96082.png)
состоит из четырех точек
![$(1,0),(2,0),(4,0),\infty$ $(1,0),(2,0),(4,0),\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/8/6883321f160796a3d54c656634b1838f82.png)
. Но четыре рациональные точки нам уже известны, следовательно,
![$E(Q)_{tor}=Z_2\oplus{Z_2}$ $E(Q)_{tor}=Z_2\oplus{Z_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6496e8ab13265a4c1aef35959256d582.png)
состоит из четырех точек и других нет.
Остается заметить, что рациональные точки с
![$w=0$ $w=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/9/139456bc2fc321efc72461a4e2187ba282.png)
соответствуют
![$a=b$ $a=b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/d/8fd5bb0eeaa8887f6a312c99359a3b9382.png)
из
![$(1),(2)$ $(1),(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c9f84eeb326f907bba143bf2bbaa7ea82.png)
и не дают в исходных уравнениях целых решений(следствие того, что мы перемножили
![$(1)$ $(1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/4/d343a5beaabde2410ecf9f826344ed8382.png)
и
![$(2)$ $(2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/e/a9ef45be1cd9cd2165b8ebbb2a77917882.png)
).
На этом доказательство закончено.
Поскольку общее уравнение эллиптической кривой
![$(7)$ $(7)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd492780822db93bd7131849febf685c82.png)
выписано, то можно по предложенной методике испробовать и другие
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
.
Но можно и не доводить дело до эллиптических кривых и попытаться использовать уравнение
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
, которое переписывается в форме
![$Y^2=(X^2-k^2+4)^2+(4k)^2$ $Y^2=(X^2-k^2+4)^2+(4k)^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/f/dcf6b02f0199455ec0f96244891b55d182.png)
.