Сумма элементов континуума. Покрытие отрезка множ-м интервал

[boomeer]

Такая задача - есть у нас интервал $(0;1)$. Теперь из каждой точки проведем отрезок положительной длины. Как доказать, что их сумма будет бесконечность?

Теперь у нас есть бесконечное множество интервалов и отрезок $[a;b]$. Любая точка этого отрезка содержится хотя бы в 1 из интервалов. Доказать, что можно выделить конечное подмножество интервалов, объединение которых так же покрывает $[a;b]$

[Joker_vD]

boomeer в сообщении #616695 писал(а):

Такая задача - есть у нас интервал (0;1). Теперь из каждой точки проведем отрезок положительной длинны. Как доказать, что их сумма будет бесконечность?

Последнее предложение разверните, пожалуйста. Что есть "сумма отрезков" и что для нее означает быть "бесконечностью".

boomeer в сообщении #616695 писал(а):

Теперь у нас есть бесконечное множество интервалов и отрезок [a;b]. Любая точка этого отрезка содержится хотя бы в 1 из интервалов. Доказать, что можно выделить конечное подмножество интервалов, объединение которых так же покрывает [a;b]

Если бы было нельзя, то и для одной из половин этого отрезка тоже нельзя было бы выделить конечное подмножество интервалов, ее покрывающих. Далее дробим-дробим-дробим эти непокрываемые отрезки и получаем, что их пересечение — точка отрезка $[a,b]$, которая не содержится ни в одном данном интервале.

[xmaister]

boomeer в сообщении #616695 писал(а):

Теперь у нас есть бесконечное множество интервалов и отрезок [a;b].

Погуглите определение компактности. Я бы так доказывал: берём центрированное семейство отрезков, которые содержатся в $[a,b]$. Из аксиомы полноты действительных чисел выведите, что пересечение семейства $\mathscr{A}$ отрезков на прямой, такого что для всяких $A,B\in\mathscr{A}$ имеем $A\cap B\ne\varnothing$. Из теоремы Александера о предбазе следует, что этого достаточно для компактности.

[Oleg Zubelevich]

компактность ни причем. Континуальная сумма положительных чисел равна $\infty$

[xmaister]

xmaister в сообщении #616703 писал(а):

Континуальная сумма положительных чисел

А это что такое?

Oleg Zubelevich в сообщении #616705 писал(а):

компактность ни причем

Как это?

boomeer в сообщении #616695 писал(а):

Доказать, что можно выделить конечное подмножество интервалов, объединение которых так же покрывает [a;b]

Для этого достаточно доказать компактность отрезка. Это определение компактности отрезка.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #616706 писал(а):

А это что такое?

Если у Вас есть набор чисел $a(x)>0,\quad x\in X$ то полагают $\sum_{x\in X} a(x)=\sup\sum_{x\in X'}a(x)$, где sup берется по всем конечным подмножествам $X'\subseteq X$. Так вот, легко показать, что если $\sum_{x\in X} a(x)<\infty$ то $X$ не более чем счетно

xmaister в сообщении #616706 писал(а):

Как это?

вот так

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #616711 писал(а):

Так вот, легко показать, что если $\sum_{x\in X} a(x)<\infty$ то $X$ не более чем счетно

Так то да.

Oleg Zubelevich в сообщении #616711 писал(а):

вот так

Причина? Я Вам написал, почему компактность очень даже причем.

[Oleg Zubelevich]

а я Вам написал доказательство, которое компактность не использует

[xmaister]

Oleg Zubelevich
, всё, я Вас понял.

[boomeer]

Joker_vD в сообщении #616701 писал(а):

Последнее предложение разверните, пожалуйста. Что есть "сумма отрезков" и что для нее означает быть "бесконечностью".

Сумма длин отрезков, которые мы провели из каждой точки интервала (0;1) бесконечна

Это доказательство можно провести от противного? Т.е. Предположим, что сумма не бесконечна, но тогда конечно и кол-во чисел в интервале, а их там континуум?

[Someone]

Докажите, что если сумма конечна, то для каждого из полуинтервалов $[1,+\infty)$, $[\frac 12,1)$, $[\frac 13,\frac 12)$, …, $[\frac 1{n-1},\frac 1n)$, … найдётся только конечное число отрезков, длина которых попадает в этот полуинтервал.

[Oleg Zubelevich]

забавно, что после того, как был сформулирован фундаментальный факт продолжают доказываться его случайные следствия.

[boomeer]

Так. Несколько не понял. Вернее понял, что мое заключение неверно. А как сделать правильно (первый пункт) так и не понял

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #616717 писал(а):

а я Вам написал доказательство, которое компактность не использует

Ну т.е. Вы доказали компактность, не используя того факта, что компактность есть.

Ну почему, ну почему народ пошёл такой учёный?... Это же 1-й семестр, к чему здесь всякие умные слова. Стандартное доказательство -- от противного, делением отрезка пополам. Пусть нельзя выбрать конечное подпокрытие отрезка. Тогда это же верно для хотя бы одной его половины; берём ту половину, для которой нельзя выбрать конечного подпокрытия. Потом -- "плохую" половину той половины и т.д. Пересечение полученной последовательности вложенных отрезков даёт некоторую точку, которая принадлежит исходному отрезку. Тогда она содержится в одном из интервалов исходного покрытия, причём вместе с некоторой своей окрестностью. А поскольку она принадлежит и каждому отрезку построенной последовательности, и длины этих отрезков стремятся к нулю -- начиная с некоторого номера, каждый из этих отрезочков содержится в той окрестности и, следовательно, в том интервале. Т.е. покрывается даже не то что конечным набором, а попросту одним интервалом; противоречие.

[boomeer]

boomeer в сообщении #616839 писал(а):

Так. Несколько не понял. Вернее понял, что мое заключение неверно. А как сделать правильно (первый пункт) так и не понял

Мой вариант неверен, тк могут быть бесконечно малые числа (отрезки), а сумма такого ряда бесконечно малая... Но так то мы вообще не должны знать рядов... В общем так и не понял эту задачу...