Сумма элементов континуума. Покрытие отрезка множ-м интервал

[Someone]

boomeer в сообщении #616893 писал(а):

Мой вариант неверен, тк могут быть бесконечно малые числа (отрезки)

??? Что такое "бесконечно малые числа (отрезки)"? Нестандартный анализ не трогаем.

Я же Вам написал:

Someone в сообщении #616737 писал(а):

Докажите, что если сумма конечна, то для каждого из полуинтервалов $[1,+\infty)$, $[\frac 12,1)$, $[\frac 13,\frac 12)$, …, $[\frac 1{n-1},\frac 1n)$, … найдётся только конечное число отрезков, длина которых попадает в этот полуинтервал.

Oleg Zubelevich в сообщении #616755 писал(а):

забавно, что после того, как был сформулирован фундаментальный факт продолжают доказываться его случайные следствия.

Вы про это?

Oleg Zubelevich в сообщении #616705 писал(а):

Континуальная сумма положительных чисел равна $\infty$

(Тут вместо "континуальная" лучше написать "несчётная".)

Oleg Zubelevich в сообщении #616711 писал(а):

Так вот, легко показать, что если $\sum_{x\in X} a(x)<\infty$ то $X$ не более чем счетно

Самое простое и естественное из известных мне доказательств этого "фундаментального факта" начинается с доказательства сформулированного мной "случайного следствия".

[muzeum]

Прежде всего - про условие:

Цитата:

Такая задача - есть у нас интервал (0;1). Теперь из каждой точки проведем отрезок положительной длинны. Как доказать, что их сумма будет бесконечность?

Обычно отрезками называют замкнутые интервалы. Если это так, то внутренности этих отрезков (соответствующие открытые интервалы) могут и не покрывать весь отрезок, и выделение конечного подпокрытия может быть невозможным. Если же у Вас отрезки - это открытые интервалы, содержащие соответствующие им точки, то в задаче предлагается доказать компактность замкнутого отрезка [0, 1], что и было сделано выше одним из участников. Естественно, компактность доказывается без использования компактности.
Про сумму несчетного числа не равных нулю чисел - она не определена, так как нет однозначного разумного определения, чему оно могло бы равняться. При обычном определении суммы множества чисел - она непременно даст бесконечность (у Вас все числа положительны). Что так же было доказано.

[xmaister]

Someone в сообщении #616936 писал(а):

Самое простое и естественное из известных мне доказательств этого "фундаментального факта" начинается с доказательства сформулированного мной "случайного следствия".

Добавлю: Похожую задачу уже обсуждали здесь и здесь

[Someone]

xmaister в сообщении #616942 писал(а):

Похожую задачу уже обсуждали здесь и здесь

Там нет явно выписанного решения, только намёки, по которым достаточно опытный человек может восстановить решение. boomeer явно к числу опытных не относится. Решение, на которое я намекаю, совершенно элементарно, и требует знания только двух фактов, без которых задача всё равно не решается: что объединение счётного множества конечных множеств не более чем счётно, и что интервал несчётен. Не требуется ни компактность, ни предельные точки, ни что-нибудь аналогичное.

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #616711 писал(а):

Если у Вас есть набор чисел $a(x)>0,\quad x\in X$ то полагают $\sum_{x\in X} a(x)=\sup\sum_{x\in X'}a(x)$, где sup берется по всем конечным подмножествам $X'\subseteq X$. Так вот, легко показать, что если $\sum_{x\in X} a(x)<\infty$ то $X$ не более чем счетно

Действительно, множество $A_n=\{x\in X\mid a(x)\ge 1/n\},\quad n\in\mathbb{N}$ конечно т.к. в противноом случае ряд разойдется. При этом $X=\cup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ -- счетное объединение коненчых множеств. Значит $X$ не более чем счетно.

[Padawan]

Не могу уловить, как то, что несчетная сумма положительных слагаемых равна бесконечности, связано с компактностью отрезка?

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #616705 писал(а):

компактность ни причем.

Someone в сообщении #616956 писал(а):

Не требуется ни компактность, ни предельные точки, ни что-нибудь аналогичное.

[Padawan]

1) Какая задача обсуждается? 2) Почему уже в первом сообщении говорится о покрытиях отрезка интервалами?

[Oleg Zubelevich]

я говорил только про первую задачу, на вторую только сейчас обратил внимание, но вторая неинтересная компактность отрезка это просто факт из учебника и все. я как-то думал, что обсуждается первая

[Padawan]

Чужие сообщение тоже читать надо иногда.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #617015 писал(а):

Чужие сообщение тоже читать надо иногда.

да, это надо высечь в камне

[ewert]

Padawan в сообщении #617009 писал(а):

Не могу уловить, как то, что несчетная сумма положительных слагаемых равна бесконечности,

Лучше начать не мочь раньше: что такое несчётная сумма?...

[LOL_XDD]

Цитата:

Лучше начать не мочь раньше: что такое несчётная сумма?...

сумма в которой как минимум континиуум слагаемых?

[xmaister]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #617014 писал(а):

компактность отрезка это просто факт из учебника

Так-то оно так, но чем больше доказательств, чем лучше же ИМХО если вопрос из учебника, то это не значит что на него не надо отвечать.

LOL_XDD в сообщении #617063 писал(а):

сумма в которой как минимум континиуум слагаемых?

А что-такое сумма континуума слагаемых?

[Jnrty]

xmaister в сообщении #617208 писал(а):

А что-такое сумма континуума слагаемых?

http://dxdy.ru/post616711.html#p616711