Задача о простых, и только о простых, числах

[AndAll]

Желающим немного развлечься предлагаю задачу:

Существуют такие представления, как

$\[ \begin{gathered} {\text{5 = 2 + 3}} \hfill \\ {\text{7 = 5}} \cdot {\text{2 - 3}} \hfill \\ {\text{11 = 7}} \cdot {\text{3 - 5}} \cdot {\text{2}} \hfill \\ {\text{13 = 11}} \cdot {\text{5 - 7}} \cdot {\text{3}} \cdot {\text{2}} \hfill \\ {\text{17 = 13}} \cdot {\text{7}} \cdot {\text{2 - 11}} \cdot {\text{5}} \cdot {\text{3}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

где каждое простое число представлено суммой двух произведений, содержащих каждое простое, меньшее представляемого простого, по одному разу.
Для всех ли простых существуют такие представления?

[Руст]

Нет. Для этого необходимо, чтобы количество символов Лежандра (q/p), равных -1, при пробегании q по всем меньшим p простым получилось чётным. Я вычислил:
$(\frac{2}{19})=(\frac{3}{19})=(\frac{13}{19})=-1,(\frac{5}{19})=(\frac{7}{19})=(\frac{11}{19})=(\frac{17}{19})=1.$

[AndAll]

Русту:

Значит ли это, что для 19 такого представления не существует?

[RIP]

AndAll писал(а):

Русту:

Значит ли это, что для 19 такого представления не существует?

Руст молчит, поэтому отвечу я: значит.

Добавлено спустя 38 минут 27 секунд:

Логичный вопрос: конечно или бесконечно множество простых с таким свойством?

[AndAll]

Понял, спасибо.

А слышали ли Вы о гипотезе Гилбрайта, она приводится как поставленная в 1958 г. и нерешенная к 1963 г. задача у В. Серпинского в "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах".
По-моему, я решил ее сразу, в процессе чтения.
Зачем то ее проверили для первых 63418 строк.
Я не привожу формулировку, возможно она Вам знакома.

Добавлено спустя 10 минут 46 секунд:

RIP писал(а):

Логичный вопрос: конечно или бесконечно множество простых с таким свойством?

Да, вопрос интересный. И каков же на него ответ?

[RIP]

AndAll писал(а):

Да, вопрос интересный. И каков же на него ответ?

А я откуда знаю?

[AndAll]

RIP писал(а):

AndAll писал(а):

Да, вопрос интересный. И каков же на него ответ?

А я откуда знаю?

Отлично! Значит задача (наполовину Ваша) имеет право на существование.

[RIP]

Я думаю, что конечно. AndAll, а Вы пробовали найти еще хоть одно такое простое?

[Руст]

На это можно ответить только вероятностными соображениями. С большей вероятностью таких чисел конечно.

[RIP]

AndAll
Не хотите поделиться с публикой Вашим док-вом гипотезы Гилбрайта?

[maxal]

Руст писал(а):

На это можно ответить только вероятностными соображениями. С большей вероятностью таких чисел конечно.

И скорее всего их плотность во множестве всех простых чисел равна 1/2.

Например, количество таких простых меньших $10^4$ равно $618$, в то время как $\pi(10^4)=1229.$

[Руст]

Maxal, ты по моему считал, только тех, которые удовлетворяют приведённому выше необходимому условию, который я применил для того, чтобы показать, что при p=19 основное условие не выполняется. Выполнение необходимого условия обеспичивает только $p|(a-b), \ a=\prod_{q\in S} q, b=\frac{M}{a}, M=\prod_{q<p}q$. Здесь S некоторое подмножество простых чисел, меньших p. Основное условие было p=a-b, т.е. представить в виде разности произведений по простым из S и его дополнения. Буду рад, если покажешь наличие ещё нескольких решений p>19.

[maxal]

Простое p представляется в таком виде тогда и только тогда когда $p^2 + 4\cdot(p-1)\#$ является полным квадратом, где $x\#$ произведение всех простых не превосходящих x.
Необходимое условие, данное Рустемом, это по сути рассмотрение $p^2 + 4\cdot(p-1)\#$ по модулю $p$ и требование $\left(\frac{(p-1)\#}{p}\right)=1.$

Кроме уже известных 5, 7, 11, 13, 17 других простых, удовлетворяющих требованиям исходной задачи, меньше $10^5$ нет.

[Руст]

Как удалось, так быстро проверить отсутствие решений при p<100000. По видимому, ты проверял через символы Лежандра $(\frac{a}{q}), \ a=p^2+4(p-1)\#,$ по простым q.

[maxal]

Руст писал(а):

Как удалось, так быстро проверить отсутствие решений при p<100000. По видимому, ты проверял через символы Лежандра $(\frac{a}{q}), \ a=p^2+4(p-1)\#,$ по простым q.

Косвенно - да. Функция issquare() в PARI первым делом вычисляет символы Лежандра по модулю нескольких простых. Проверял так:

? q=1; forprime(p=2,10^5,if(issquare(p^2+4*q),print(p));q*=p)
5
7
11
13
17
? ##
  ***   last result computed in 12,445 ms.

Потребовалось чуть больше 12 секунд