Задача о простых, и только о простых, числах

[Руст]

По простым q<p не следовало проверять символы Лежандра, они равны 1, что делает неэкономичным расчёт при p порядка 100000. Надо начинать с p и более.

[maxal]

Проверил все простые меньшие $10^6$ (за 45 минут), также безрезультатно.

[Руст]

Можно выдвинуть гипотезу, что других решений нет.

[AndAll]

RIP писал(а):

Я думаю, что конечно. AndAll, а Вы пробовали найти еще хоть одно такое простое?

Нет, не пробовал. Дошел только до формулы, подобной Вашей, правда у меня получилось $p_n^2 + 4 \cdot \left( {p_{n - 1} } \right)\# $.

Вот все, что есть у Серпинского по поводу гипотезы Гилбрайта (опускаю таблицу), думаю до завтра кто-нибудь решит.
Гипотеза Гильбрайта
Н. Л. Гильбрайт высказал в 1958 г. следующее предположение.
Если мы выпишем последовательные простые числа, затем в первой строке — разности последовательных простых чисел, во второй — абсолютные величины разностей последовательных чисел первой строки, в третьей — абсолютные величины разностей последовательных чисел второй строки и т. д., то в каждой строке первым числом будет 1.
Так, например, первые 17 строк ….
Гипотеза Гильбрайта проверена для первых 63 418 строк. Однако мы не знаем общего доказательства ее истинности.

Обозначим для натуральных n через a_n наименьшее натуральное число такое, что (a_n + 1)-е число n-й строки является первым числом этой строки, которое >2.
Таким образом, мы имеем, например,
$\begin{gathered} a_1 = 3,a_2 = 8,a_3 = 14.\,\,$Подсчитано, что$ ,\,\,a_4 = 14,a_5 = 25,a_6 = 24, \hfill \\ a_7 = 23,a_8 = 22,a_9 = 25,a_{10} = 59,a_{14} = 97,a_{15} = 174,a_{22} = 280,a_{23} = 740, \hfill \\ a_{24} = 874,a_{34} = 866,a_{35} = 2180,a_{64} = 5940,a_{65} = 23266,a_{94} = 31533 \hfill \\ \end{gathered} $

Если бы можно было доказать, что a_n > 2 для натуральных n, то отсюда легко можно было бы установить истинность гипотезы Гильбрайта.

Если кого-то задача заинтересует и понадобится больше времени - сообщите, я не буду выкладывать свои соображения по ее поводу.

[maxal]

AndAll писал(а):

Дошел только до формулы, подобной Вашей, правда у меня получилось $p_n^2 + 4 \cdot \left( {p_{n - 1} } \right)\# $.

Это та же самая формула.

AndAll писал(а):

Н. Л. Гильбрайт высказал в 1958 г. следующее предположение.
Если мы выпишем последовательные простые числа, затем в первой строке — разности последовательных простых чисел, во второй — абсолютные величины разностей последовательных чисел первой строки, в третьей — абсолютные величины разностей последовательных чисел второй строки и т. д., то в каждой строке первым числом будет 1.
Так, например, первые 17 строк ….
Гипотеза Гильбрайта проверена для первых 63 418 строк.

Устаревшая информация. В 1993 году Одлыжко проверил эту гипотезу для 346065536839 строк.
См. Gilbreath's Conjecture.

[AndAll]

maxal писал(а):

AndAll писал(а):

Дошел только до формулы, подобной Вашей, правда у меня получилось $p_n^2 + 4 \cdot \left( {p_{n - 1} } \right)\# $.

Это та же самая формула.

Я понимаю, что Вы имели в виду то же.

Цитата:

Устаревшая информация. В 1993 году Одлыжко проверил эту гипотезу для 346065536839 строк.
См. Gilbreath's Conjecture.

А я и не говорю, что информация новая. Книга Серпинского издана в 1963 г. Google ничего найти не смог, теперь я вижу, что неправильно писал Gilbreath (Gilbright).

Проверять подобные Conjectures (twin prime, Goldbach, etc.) , чистой воды мазохизм, если не сказать хуже. Можно проверять, но нельзя проверить.
Здесь предлагается не проверить, а решить проблему.

[maxal]

AndAll писал(а):

Здесь предлагается не проверить, а решить проблему.

Красиво звучит, но толк вряд ли будет. До нас над ней тоже далеко не дураки думали.
В любом случае прежде чем "решать проблему", имеет смысл посмотреть на то, что было сделано другими. Вот, например, пресловутая работа Одлыжко (с сайта автора):
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arc ... h.conj.pdf

[AndAll]

Все же до следующей недели надо подождать, не все же еще пробовали ее решить.
Насчет "смысла посмотреть" - вопрос спорный.

То, что "не дураки думали" - не аргумент. Ни Бухштаба, ни Прахара, ни Троста я к таковым никак не причисляю, однако у всех у них, и у многих других, оценка остаточного члена в методе решета Эратосфена и аргументы в ее пользу не выдерживает никакой критики. Почему-то, все они считают, что $R < 2^{\pi \left( {\sqrt x } \right)} $ , в то время, как, невооруженным глазом видно, что $R < \pi \left( {\sqrt x } \right)$ . Если бы не эта зашоренность, то многие проблемы ТЧ были бы давно решены.
Вы же видите, что эта оценка гораздо лучше предполагаемой для ${\text{li}}\left( x \right)$ оценки $R < \sqrt x \ln x$ , хотя действительная (вычисленная) вполне укладывается в $R < \pi \left( {\sqrt x } \right)$ .
Если предполагаемая для ${\text{li}}\left( x \right)$ оценка $R < \sqrt x \ln x$ все же верна, то формула Лежандра дает лучшее приближение для $\pi \left( x \right)$ , о чем я писал Русту еще год назад.

[Руст]

AndAll писал(а):

То, что "не дураки думали" - не аргумент. Ни Бухштаба, ни Прахара, ни Троста я к таковым никак не причисляю, однако у всех у них, и у многих других, оценка остаточного члена в методе решета Эратосфена и аргументы в ее пользу не выдерживает никакой критики. Почему-то, все они считают, что $R < 2^{\pi \left( {\sqrt x } \right)} $ , в то время, как, невооруженным глазом видно, что $R < \pi \left( {\sqrt x } \right)$ . Если бы не эта зашоренность, то многие проблемы ТЧ были бы давно решены.
Вы же видите, что эта оценка гораздо лучше предполагаемой для ${\text{li}}\left( x \right)$ оценки $R < \sqrt x \ln x$ , хотя действительная (вычисленная) вполне укладывается в $R < \pi \left( {\sqrt x } \right)$ .
Если предполагаемая для ${\text{li}}\left( x \right)$ оценка $R < \sqrt x \ln x$ все же верна, то формула Лежандра дает лучшее приближение для $\pi \left( x \right)$ , о чем я писал Русту еще год назад.

Во первых остаточный член относится к формуле распределения (в данном случае) простых чисел. Указанные товарищи извлекают из метода решета об остаточном члене то, что можно извлечь элементарными соображениями суммируя доли по абсолютной величине и округляя их в верхнюю сторону до 1. Что касается, что их вы относите к дуракам (не относите к не дуракам), то с моей точки зрения это говорит о вас, а не о ниж.
Ни невооружённым, ни вооружённым глазом не видно $R<\pi(\sqrt x ).$ То, что это неверна для оценки ролученным методом решета уже обсудили. Мало того, скорее всего эта оценка не верна и для приближения с помощью Li(x), по крайней мере Литвулд доказал что $R(x)>a\frac{\sqrt x }{ln x }ln(ln x)$. Оценка $R<\sqrt x ln x$ не предполагаемая, а доказываемая исходя из гипотезы Римана (правда тут всюду упускаем ещё возможный множитель константу), возможна верна оценка поточнее: $R(x)=O(\sqrt x ) \ or \ R(x)=O(\sqrt{xlnx })$.
Последнее (если верна эта оценка, эквивалентная гипотезе Римана, то формула Лежандра лучшее приближение) полная чушь, показывающее, что вы не понимаете элементарных вещей, так как оценка Лежандра получена путём вычислительного эксперимента при малых х и смещена $f(x)=\frac{x}{ln x -b(x)}, b(x)\to 1,083..$ Уже доказано, что даже не смещённая оценка с b(x)=1 гораздо хуже чем li(x) при больших х, не прибегая к гипотезе Римана. А с гипотезой Римана не следует никакого уточнения в сравнении оценок (доказано, что дш(ч) бесконечно хороша по сравнению оценки Лежандра), а только оценка остатка для Li(x).

[AndAll]

Руст, прочтите правильно, что я пишу об уважаемых математиках.

Руст писал(а):

не предполагаемая, а доказываемая исходя из гипотезы Римана

Так как гипотеза Римана еще не доказана, то эта оценка является предполагаемой.

Я говорю не о той формуле Лежандра, что приводите Вы, а о так называемой формуле Лежандра-Эратосфена $\pi \left( n \right) - \pi \left( {\sqrt n } \right) + 1 = n\prod\limits_{1 < p_i \leqslant \sqrt n } {\left( {1 - \frac{1}{{p_i }}} \right)} + R$.

В любом доказательстве могут обнаружиться ошибки, даже по прошествии многих лет. Но я не настаиваю.

С уважением

[Руст]

Уже показали, что эта формула хуже даже самой простой x/lnx аппроксимационной формулы для $\pi(x)$.

[AndAll]

Руст писал(а):

Для этой оценки уже показали, что оно хуже даже самой простой x/lnx и больще обсуждать нечего.

Я не призываю Вас ничего обсуждать.
Но если бы Вы не нервничали и писали бы медленнее, то возможность понять последнее предложение в предыдущем Вашем посте увеличилась бы.

[AndAll]

AndAll писал(а):

А слышали ли Вы о гипотезе Гилбрайта, она приводится как поставленная в 1958 г. и нерешенная к 1963 г. задача у В. Серпинского в "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах".
По-моему, я решил ее сразу, в процессе чтения.
Зачем то ее проверили для первых 63418 строк.
Я не привожу формулировку, возможно она Вам знакома.

Поэкспериментировав, вижу, что ошибался. Готов понести любое наказание.
Тем не менее, думаю, что решить можно, конечно, не бесконечной проверкой.
Ссылки посмотрю.