Отрицательные числа в биномиальных коэффициентах

[Asker Tasker]

Проблема возникла при доказательстве следующего равенства:
$\sum_{k = 0}^{m} k \left( k - 1 \right)C_{m}^{k} = m\left(m-1 \right)2^{m-2}$, где

На первый взгляд, ничего сложного:
$\sum_{k = 0}^{m} k \left( k - 1 \right)C_{m}^{k} = \sum_{k = 0}^{m} \frac{k \left( k - 1 \right) m!}{k!\left( m-k \right)!} = \sum_{k = 0}^{m} \frac{m \left( m - 1 \right) \left( m-2 \right)!}{\left(k-2 \right)! \left( m-k \right)!} = m\left( m-1 \right)\sum_{k = 0}^{m} \frac{\left( m-2 \right)!}{\left(k-2 \right)! \left( m-2-(k-2) \right)!} = m\left( m-1 \right)\sum_{k = 0}^{m} C_{m-2}^{k-2} = m\left( m-1 \right)\left( C_{m-2}^{-2} + C_{m-2}^{-1} \right) + m \left( m-1 \right)\sum_{k = 2}^{m} C_{m-2}^{k-2} = m\left( m-1 \right)\left( C_{m-2}^{-2} + C_{-1}^{-2} \right) + m \left( m-1 \right)\sum_{k = 0}^{m-2} C_{m-2}^{k} = m\left( m-1 \right)\left( C_{m-2}^{-2} + C_{-1}^{-2} \right) + m \left( m-1 \right)2^{m-2}$

Но что делать с $C_{m-2}^{-2} + C_{m-2}^{-1}$?! Я раньше отрицательных чисел в биномиальных коэффициентах не встречал...

[ИСН]

В изначальном выражении, как легко видеть, их нет. Вот и задумайтесь, в какой момент они там возникли, после какого действия, и почему Вы решили, что так делать можно.

[Asker Tasker]

Они возникли при сведении факториала $k!$ в знаменателе к факториалу $\left( k-2 \right)!$ ...
А этого можно было и не делать, потому что
$\sum_{k = 0}^{m} k \left( k - 1 \right)C_{m}^{k} = 0 \cdot \left( 0 - 1 \right) C_{m}^{0} + 1 \cdot \left( 1 - 1 \right) C_{m}^{1} + \sum_{k = 2}^{m} k \left( k - 1 \right)C_{m}^{k} =$ (как показано выше) $ 0 + 0 + m \left( m-1 \right)\sum_{k = 0}^{m-2} C_{m-2}^{1} = m\left( m-1 \right)\left( C_{m-2}^{-2} + C_{-1}^{-2} \right) + m \left( m-1 \right)2^{m-2}$
Верно?

[Mitrius_Math]

Asker Tasker, два раза продифференцируйте по $y$ тождество $(1+y)^m=\sum_{k=0}^{m}C_m^ky^k$, а затем положите $y=1$.

[Asker Tasker]

Mitrius_Math в сообщении #615315 писал(а):

Asker Tasker, два раза продифференцируйте по $y$ тождество $(1+y)^m=\sum_{k=0}^{m}C_m^ky^k$, а затем положите $y=1$.

$ m \cdot (1+y)^{m - 1} = \sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot k \cdot y^{k - 1} $

$ m \left( m - 1 \right) (1+y)^{m - 2} = \sum_{k=0}^{m}k \left( k - 1 \right) C_m^k \cdot y^{k - 2} $

При $y = 1$ имеем равенство $m \left( m - 1 \right) 2^{m - 2} = \sum_{k=0}^{m}k \left( k - 1 \right) C_m^k $

Вау. Раньше никогда не видел комбинаторные доказательства с дифференцированием чего-либо.
Спасибо за помощь!

[Mitrius_Math]

Asker Tasker в сообщении #615323 писал(а):

Спасибо за помощь!

Всегда пожалуйста.

[Профессор Снэйп]

Asker Tasker в сообщении #615323 писал(а):

Вау. Раньше никогда не видел комбинаторные доказательства с дифференцированием чего-либо.

Ну что ж Вы. Это же самый главный метод в комбинаторике!

[Asker Tasker]

Профессор Снэйп в сообщении #615348 писал(а):

Ну что ж Вы. Это же самый главный метод в комбинаторике!

Мне задание попалось в контексте теории вероятностей, где комбинаторика шла маленькой предварительной частью, в которой кроме сочетаний-размещений-перестановок больше формул и методов не предлагалось. Но этот метод понравился.