Сумма модулей разностей

[m_victor]

Из множества $\{1, 2, ..., 2n\}$ выбирают $n$ чисел и обозначают в порядке возрастания $a_1, a_2, ..., a_n$, оставшиеся $n$ чисел обозначают в порядке убывания $b_1, b_2, ..., b_n$. Доказать, что для всех $n$ справедливо равенство $\lvert a_1-b_1\rvert +\lvert a_2-b_2\rvert+...+\lvert a_n-b_n\rvert=n^2.$
Подскажите, пожалуйста, как решать.

[ИСН]

1. Доказать для некоторого одного набора.
2. Доказать, что равенство сохраняется при каких-то элементарных преобразованиях, которыми можно из этого набора получить все остальные.

[Dave]

Есть ещё такой вариант.
Доказать, что количество $a_i$, строго больших $n$, равно количеству $b_i$, не превосходящих $n$. Потом "раскрыть" модули и доказать, что числа, большие $n$, обязательно идут с плюсами, а меньшие либо равные $n$ - с минусами.