Готовлюсь к матану

[Fantast2154]

Готовлюсь к матану. Нужна помощь в некоторых вопросах, которые я буду выкладывать в этот топик по мере их возникновения. Заранее благодарен за помощь, без флуда пожалуйста.

Итак, поехали.

Теорему о о неявной функции знаю.
Хотелось бы посмотреть примеры:
Вот я беру окружность: $x^2+y^2=1$
$F(x,y)=F(x,y(x))=0$

По т. о н.ф. когда $\frac{\partial (y)}{\partial (y)}(p)$ $\neq$ 0 $F(x,y)=0$ определяет $y=y(x)$, как гладкую функцию в близи т. P

Т.е в результате ненулевой производной по х мы получаем $2y\neq0$. Получается что мы можем выразить верхнюю и нижнюю части окружности как явные функции от х, так? А вблизи 0, в точках (-1,0) и (1,0) мы так сделать не можем. Все верно?


Далее

Теорема об обратном отображении.
Теорему знаю.

Возьмем пример:
Вот у нас есть область $U={(r,\varphi)|0\leqslant r\leqslant 1, 0\leqslant\varphi\leqslant \pi}$

Далее мы делаем функцию $f:U \rightarrow $$R^2$; $(r,\varphi) \rightarrow (x,y) $ по правилу
$$ \begin{cases} x=rcos(\varphi),\\ y=rsin(\varphi)\\ \end{cases} $$ $

Образом $V=f(U)$ является полукруг.

Обратимо ли это отображение? Нет. В одну точку переходит сторона прямоугольника, именно там равен нуля якобиан. $\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi)}=r$
Поясните мне вот что: "Ограничивая f на внутренность U мы получим диффеоморфизм на внутренность V"
Вопрос такой: диффеоморфизма в этом отображении нет совсем? Ведь по т. об обратном отображении, в некоторой окрестности точки с ненулевым якобианом существует локальный диффеоморфизм. Забегая чуть-чуть вперед хотелось бы уточнить мое понимание проблемы о неудаче глобализации, т.е если у нас якобиан отображения f отличен от нуля на всей области определения, то это не значит что f является диффеоморфизмом всей области. А как это пояснить? На лекциях нам говорили, что это из-за того что нельзя гарантировать взаимную однозначность.

Общая постановка задачи, которую решает т. об обратном отображении выглядит так:
Система:
$$ \begin{cases} y_1=f(x_1,x_2),\\ y_2=f(x_1,x_2)\\ \end{cases} $$ $
Только для случая
$y_i, x_j$ и когда тех и других переменных не по 2, а по n штук. Для открытых областей $U,V \rightarrow R^n$ , $f:U \rightarrow V$

Th. Гладкое отображение является локальным диффеоморфизмом вблизи каждой точки, где его якобиан отличен от нуля ( локальная обратимость )

Много уже написал, продолжу чуть позже. С уважением.

[photon]

Fantast2154 в сообщении #612159 писал(а):

/*Может быть вы мне расскажите заодно, символику формул тега math? Как ставить "не равно" ?*/

Fantast2154 в сообщении #612159 писал(а):

/* как делается значок частной производной? и дроби? *

Смотрите тут, например:
«Краткий ФАК по тегу [mаth].»

В частности, $\neq$ записывается как $\neq$ и $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ пишется как $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$

[Fantast2154]

Поправил, спс

[AKM]

Fantast2154 в сообщении #612159 писал(а):

Получается что мы можем выразить верхнюю и нижнюю части окружности как явные функции от х, так? А вблизи 0, в точках (-1,0) и (1,0) мы так сделать не можем. Все верно?

Похоже верно, но как-то очень коряво написано. В частности, мотивировка странная: почему производной $\frac{dy}{dx}$ запрещено быть ноликом?
Да, можем выразить: $y=\pm\sqrt{1-x^2}.$ А там, где вертикальные касательные --- не можем.

И раздел не тот выбрали.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: корявое оформление формул.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темой Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться. Там, во втором сообщении, азы про запись формул.
Возвращать тему будем в "Помогите решить-разобраться".

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Fantast2154]

Народ, проявляйте активность, мне это важно.

С уважением.

[Fantast2154]

новый вопрос
Определения:
1) Элементарной гладкой линии в $R^2$
2) Элементарной гладкой линии в $R^3$
3) Когда мн-во L в $R^n$ называется гладкой линией?
4) Элементарная гладкая поверхность в $R^3$
5) Мн-во S в $R^n$ - гладкая поверхность ..
6) Элементарное гладкое k-мерное многообразие
7) гладкое k-мерное многообразие

Примеры?

[chessar]

Fantast2154,
Вы какую литературу используете?

[Fantast2154]

chessar в сообщении #615211 писал(а):

Fantast2154,
Вы какую литературу используете?

лекции http://www.phys.nsu.ru/ulyanov/notes-12s.pdf