Теория чисел

[DjD USB]

Правильно ли решена задача?

Даны натуральные числа $a,b$ и $c$, взаимно простые в совокупности. Верно ли, что обязательно существует такое натуральное $n$ , что число $a^k+b^k+c^k$ не делится на $2^n$ ни при одном натуральном $k$ ?

Решение:Нет, не верно Пусть $a=2^n$, b и c нечетные числа, и пусть $b=2^n-1$ и $c=2^n+1$(при этих значениях а b и с взаимная простота сохраняется).Т.к. по условию $k$ любое, то тогда пусть нечетно. Тогда $(2^n)^k\equiv 0\mod 2^n$ т.е $a^k\equiv 0\mod 2^n$, $2^n-1\equiv -1\mod 2^n$ тогда т.к $k$ нечетно $(2^n-1)^k\equiv -1\mod 2^n$ т.е. $b^k\equiv -1\mod 2^n$. Для $c$ теперь $c^k\equiv 1\mod 2^n$. По свойству сравнения мы можем их сложить.Следовательно $a^k+b^k+c^k\equiv 0\mod 2^n$ При любом n.Значить такое существование не всегда верно. Не знаю как $2^n$ в модуле писать. Поправте пожалуйста.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин».

Приведите условие задачи в тексте сообщения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Возвращено.

[Xaositect]

Вы не поняли условие.
Вам даны три взаимно-простых числа $a, b, c$. Спрашивается, можно ли найти такое $n$, при котором $2^n$ не делит никакое $a^k + b^k + c^k$.
А Вы говорите: давайте возьмем $a,b,c$ и $n$ вот такие, и для них все плохо. Таким способом Вам утверждение не опровергнуть. Для того, чтобы опровергнуть утверждение, надо взять конкретные $a,b,c$ и для любого $n$, не зависящего от этих $a,b,c$ подобрать плохое $k$.

[DjD USB]

Разве я взял конкретное $n$?

[ИСН]

Нет; но Вы взяли конкретные $a,b,c$. А утверждение сделано для любых (с некоторым ограничением).

[DjD USB]

Если среди чисел a,b,c есть либо одно нечетное, либо три нечетных то тогда число $a^k+b^k+c^k$ нечетно.Значит у нас одно четное и два нечетных числа.Пусть $a$ четно.Предположим $k$ четное тогда $a^k+b^k+c^k$ дает остаток 2 при делении 4.Т.е. может делится только на $2^n$ при $n=1$Тогда пусть $k$ нечетно, тогда $b^kc^k=(b+c)(b^{k-1}-....+c^{k-1})$. Во-второй скобке нечетное число нечетных слагаемых, т.е. вторая скобка нечетна Тогда $(b+c)=2^pt$Дальше ничего не идет в голову

[ИСН]

Так гораздо лучше. Разница между этим Вашим сообщением и предыдущим - это разница между пониманием и непониманием условия задачи. А по самому ходу решения не скажу ничего, кроме того, что он верен и уже очень, очень близок к финалу.
Ах да, мелкое замечание: среди чисел не могло быть всего одно нечётное. Потому что тогда было бы два чётных, а - - -

[DjD USB]

ИСН в сообщении #609663 писал(а):

Так гораздо лучше. Разница между этим Вашим сообщением и предыдущим - это разница между пониманием и непониманием условия задачи. А по самому ходу решения не скажу ничего, кроме того, что он верен и уже очень, очень близок к финалу.
Ах да, мелкое замечание: среди чисел не могло быть всего одно нечётное. Потому что тогда было бы два чётных, а - - -

На счет вашего замечания.Прочтите внимательно первую ствочку моего прошлого сообщения

[ИСН]

Извините - оказывается, могло. Там "в совокупности", а не "попарно".
Но общая характеристика остаётся в силе.

[DjD USB]

ИСН в сообщении #609667 писал(а):

Извините - оказывается, могло. Там "в совокупности", а не "попарно".
Но общая характеристика остаётся в силе.

Да,да.
Если n больше чем количество двоек которое входит в степени числа b+c ,то ответ да возможно.

[ИСН]

Которое куда входит? И что возможно?

[DjD USB]

Если n больше чем количество двоек в числе b+c. Т.е. больше числа $2^p$(это число написано в прошлом сообщении),то тогда мы получим то что это возможно(то что спрашивают в задаче)

[ИСН]

Проверим на примере от балды. $(a,b,c)=(2,1,7)$. Верно ли, что p=3? Верно ли, что 4>3? Верно ли, что ни для какого натурального k число $a^k+b^k+c^k$ не делится на $2^4$?

[DjD USB]

Делится при к=3

[ИСН]

Так. Как эта гадина проскочила?

-- Чт, 2012-08-23, 22:29 --

В смысле, у нас же n больше, чем количество двоек в числе b+c?