Аксиоматика теории вероятностей, счетная аддитивность

[eugrita]

Насколько аксиоматика Колмогорова теории вероятностей расширяет класс событий по сравнению с теми которыми приходится иметь дело в жизни? Надо ли всегда задавать функцию распределения на сигма-алгебре?
Сам Колмогоров считал, что "множества из сигма-алгебры $F$ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире"
В учебн. Гнеденко [1]одним из свойств функции распределения указано наличие не более чем счетного числа скачков.
ОК, но приведите хоть один пример такой функции, чтобы понять где это может применяться.
Задам даже такой вопрос.В том же [1] приводится классификация функций распределения для вещественной с.в. на непрерывные и абсолютно непрерывные, т.е. у которых есть плотность распределения а ф.р. является интегралом в смысле Лебега.
Вопрос до удивительности однообразен. Покажите хоть 1 пример использующийся на практике распределений (не дискретных) у которых нет плотности.
Из того что я видел приводился как нестандартный пример функции распределения лишь т.н.Канторова лестница т.е.
функция, равная $1/2$ на $[1/3,2/3]$, $1/4$ на $[1/9,2/9]$, $3/4$ на $[7/9,8/9]$ и т д
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Если я заблуждаюсь, поправьте, но если нет, то такая аксиоматика приводит к "двойным стандартам",
когда постулируется широкий класс, а на практике используется лишь малая его часть, а все остальное лишь красивая теория не более.

[1]Гнеденко Б.В.Курс теории вероятностей, 1988г.

[mihailm]

К каким еще двойным стандартам, вы о чем?
Кому мешает, то что в практике не все используется?
Ну не используется и что?

[_hum_]

По-моему, тут ситуация сродни введению в математику вещественных чисел - игровое поле "замыкается" и становится проще работать, не отвлекаясь на постоянные проверки о существовании.
Грубо говоря, сигма-алгебра расширяет обычный класс событий до системы событий, наступление которых можно зафиксировать уже только с помощью счетного (а не конечного) количества "фиксаторов" событий.

[eugrita]

двойными стандартами в данном случае я и называю, когда кто-то пусть уважаемый математик ввел аксиоматику широкого класса с рядом теорем, выводов и проч, которое включено в программу вузов, типа мехмат, ВМК и проч., обязательна к изучению... а на практике оказывается нужно решать задачки совсем без использования этих свойств, грубо говоря типовую задачу оценки попадания в интервал

[_hum_]

Игра: у вас есть начальный капитал в виде - $X$ кг золота, и вы начинаете играть в следующую игру. На каждом шаге делаете ставку на одно из 6-ти чисел, при этом за каждую ставку платите половину уже набранного в игре капитала. После подбрасываете кубик. Если выпала ваше число, то получаете выигрыш в количестве равном $X$ кг золота, иначе - ничего.
Спрашивается, какими математическими средствами (если не прибегать к сигма-алгебре и сингулярным распределениям) описать "случайную величину" $\xi$ - капитал (в кг) после неограниченно большого числа шагов игры ?

[eugrita]

Да согласен. Это наглядный пример. Хотя практически применить его не могу - путем численного моделирования я могу лишь построить ф.р. д.с.в. после конечного числа шагов игры, т.е. лишь строить последовательность ф.р. д.с.в аппроксимирующих исходную.
А если чуть поменять условия игры с 0.5 суммы капитала на любую другую долю, например 0.4 то результатом будет уже ф.р.=1 т.е единичная ступенька?

[Cash]

И при $0.5$ и при $0.4$ быстро скатимся в ноль.
Равновесное положение достигается при
$\alpha = 1-\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$

$\alpha = 0.1294494367 \dots$

-- Вт авг 21, 2012 10:12:20 --

Хм...
В этом случае равновероятно только движение в ту или иную сторону, но при движении вправо выигрыш значительно больше, матожидание выигрыша значительно больше $0$

-- Вт авг 21, 2012 10:25:04 --

Нулевое матожидание тогда вроде при банальном $\alpha = \frac{1}{6}$

[eugrita]

Это что марковский процесс?
Кстати согласно Ширяеву и Гнеденко в теор.вероятности рассматриваются процессы с дискретным временем и марковские цепи а с непрерывным временем - нет.
Как правильно считать, теория случайных процессов предмет теор.вер. или матем.статистики?
Аналогично хочется понять: понятие "выборки" все-таки относится не к теории вероятностей а матем.статистике. Так же как и вопросы оценки параметров выборки и с.в. тоже к ней?

очень часто в учебниках и пособиях мешают это в одну кучу - не поймешь, к какой науке относится.

[_hum_]

eugrita в сообщении #608472 писал(а):

Это что марковский процесс?

Если рассматривать как процесс, то да.
А вообще я просто хотел что-то содержательное придумать к математическому утверждению, что если имеется последовательность $\beta_1, \beta_2, \dots$ независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 0 и 1 с вероятностью $1-p$ и $p$ соответственно, то случайная величина $\xi = \sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\beta_i$ (то есть, величина, значения которой в двоичной записи имеют вид ($\beta_1\beta_2\dots)_2$ ), при $p = 1/2$ будет иметь равномерное распределение, а при любом другом значении $p$ - сингулярное.

eugrita в сообщении #608472 писал(а):

Кстати согласно Ширяеву и Гнеденко в теор.вероятности рассматриваются процессы с дискретным временем и марковские цепи а с непрерывным временем - нет.
Как правильно считать, теория случайных процессов предмет теор.вер. или матем.статистики?

Это вы что-то недопоняли. Теория вероятностей включает в себя и теорию процессов с дискретным временем, и с непрерывным.
Если коротко - под теории вероятностей подпадают все задачи, наподобие следующей: задана (частично или полностью) вероятностная модель; требуется рассчитать вероятность (идеальную частоту наступления) определенных событий.
Мат. статистика решает "обратную задачу" - имеются результаты эксперимента в виде частоты наступления тех или иных событий - требуется подобрать "самую подходящую" вероятностную модель. (Например, бросается много раз несимметричная с неизвестной вероятностью выпадения орла $p$ и требуется подобрать такое значение $p$, чтобы предсказанная вероятность совпадала хорошо с экспериментальной частотой.). По-моему, об этом во введении Ширяева написано.
Это две взаимодополняющие дисциплины.

eugrita в сообщении #608472 писал(а):

Аналогично хочется понять: понятие "выборки" все-таки относится не к теории вероятностей а матем.статистике.

Да, к мат. статистике. И хочется отметить, что под "выборкой" часто понимается два разных объекта - 1) сами результаты эксперимента (то есть, просто числа), 2) математическая модель (набор независимых случайных величин), описывающая то, каким образом эти числа могли получиться. Так что внимательнее следите за контекстом при чтении (по мат. статистике рекомендую Боровкова).

[Someone]

eugrita в сообщении #608316 писал(а):

В учебн. Гнеденко [1]одним из свойств функции распределения указано наличие не более чем счетного числа скачков.
ОК, но приведите хоть один пример такой функции, чтобы понять где это может применяться.

Распределение Пуассона, геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение.

eugrita в сообщении #608350 писал(а):

а на практике оказывается нужно решать задачки совсем без использования этих свойств, грубо говоря типовую задачу оценки попадания в интервал

Я не понял, а как Вы собираетесь решать задачу о вероятности попадания в интервал совсем без $\sigma$-аддитивности? Если функция распределения не является непрерывной. Или если задана плотность вероятности.

eugrita в сообщении #608472 писал(а):

Как правильно считать, теория случайных процессов предмет теор.вер. или матем.статистики?

Теория вероятностей.

eugrita в сообщении #608472 писал(а):

очень часто в учебниках и пособиях мешают это в одну кучу - не поймешь, к какой науке относится.

Ну примерно так. Если задано вероятностное пространство и случайная величина на нём, и требуется определить вероятность получить выборку значений этой случайной величины, обладающую заданными свойствами, то это теория вероятностей. Если задана выборка, и требуется оценить параметры случайной величины, то это математическая статистика.

Так всё-таки, чего плохого в том, что теория охватывает более широкую область, нежели то, что, по Вашему мнению, используется на практике? У Вас об этом спросили, а Вы не ответили.

[eugrita]

извините за задержку ответа, друзья. работал на улице без компьютера-жизнь тяжелая

Цитата:

Теория вероятностей включает в себя и теорию процессов с дискретным временем, и с непрерывным.

Если так понимать, то уж очень обширная теория- значит и авто-и взаимно-корреляционные функции ,функция когерентности . Скажете еще что и оптимальная фильтрация тоже часть теории вероятностей?

Цитата:

Распределение Пуассона, геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение.

- извините в этих распределениях число скачков конечно, а я имел ввиду - бесконечное счетное количество!

Цитата:

Так всё-таки, чего плохого в том, что теория охватывает более широкую область, нежели то, что, по Вашему мнению, используется на практике?

Плохого конечно нет, но обидно изучать что-то а на практике это лежит мертвым грузом. Вот знаете ли,
в Роскосмосе когда считают надежность изделий с 3 или 4 девятками, конструктора и военных интересует только гарантия рассчитанных цифр, и меньше всего аксиоматика, вероятностная модель и проч....Хотя не помню, когда Эйнштейн создавал теорию относительности и делались по ней первые расчеты подтвердилось ли это сразу или позже

Цитата:

как Вы собираетесь решать задачу о вероятности попадания в интервал совсем без $\sigma$-аддитивности? Если функция распределения не является непрерывной

Если есть плотность вероятности - то стандартно через интеграл от нее по интервалу. А вот если ф.р. не непрерывная....Так вот я и не понимаю когда же все-таки в практических случаях(а не в теории) функция распределения (кроме как дискретных с.в) не является непрерывной кроме возможно нескольких скачков (разрывов 1-го рода) - и это даже достаточно искусственно...Ну вот здесь на форуме помогли с примерами игр.Спасибо
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
только сейчас начал понимать родство простых игр и теории вероятностей.Пример выше - игра 2х лиц
с 2 стратегиями (правда размеры выигрыша (элементы платежной матрицы) переменные -зависят от шага Но по любому-если игра продолжается конечное число ходов, ф.р.суммы выигрыша - дискретная с.в. Если же игра продолжается бесконечно - то получается как раз сингулярная ф.р.
А если бесконечно продолжающуюся игру рассмотреть как дискретный (марковский) процесс с бесконечным числом состояний?
-------------------------------------------
Правильно ли я понял модель предлагаемого процесса (игры)?
$X_0=X$
$X_{n+1}=(1-a)X_n$ c $ p=\frac{5}{6}$
$X_{n+1}=(2-a)X_n$ c $p=\frac{1}{6}$
у вас $a=0.5$
или все таки $X_{n+1}=(1-a)X_n +X$ c $p=\frac{1}{6}$ ???

-- Вт авг 21, 2012 22:42:44 --

И еще я подумал (правда пока мысль незрелая) - в информатике сейчас в ЕГ уровня С пошли задачи на деревья. Типа игроки достают из кучи камней либо n1 либо n2. Кто выиграет.
Продолжают эту линию задачи на простые марковские процессы с конечным или бесконечным числом состояний.
И тут то прослеживается эта связь с теор.вероятностей и сингулярными распределениями

[Someone]

eugrita в сообщении #608766 писал(а):

извините в этих распределениях число скачков конечно, а я имел ввиду - бесконечное счетное количество!

Вы что! Это дискретные распределения с бесконечным множеством возможных значений.

eugrita в сообщении #608766 писал(а):

Если есть плотность вероятности - то стандартно через интеграл от нее по интервалу.

$\sigma$-аддитивность "сидит" в непрерывности интеграла как функции пределов интегрирования.

eugrita в сообщении #608766 писал(а):

А вот если ф.р. не непрерывная...

Если $F_X(x)=P(X<x)$ - функция распределения случайной величины $X$, то $P(a<x<b)=F_X(b)-\lim\limits_{x\to a^+}F_X(x)$. $\sigma$-аддитивность "сидит" в пределе.

[ewert]

Someone в сообщении #608824 писал(а):

$\sigma$-аддитивность "сидит" в пределе.

Сигма-аддитивность сидит не в пределе, а в самой себе (предел там может определяться минимум двояко, и ни на что дальнейшее этот выбор не влияет). Другое дело, что аддитивность именно "сигма", а не просто, нужна для обоснования предельных переходов, необходимых для построения корректной теории.

[Someone]

То, что вероятность объединения возрастающей последовательности событий равна пределу вероятностей этих событий, доказывается именно с помощью $\sigma$-аддитивности.

[ewert]

Someone в сообщении #608839 писал(а):

вероятность объединения возрастающей последовательности событий равна пределу вероятностей этих событий, доказывается именно с помощью $\sigma$-аддитивности.

Не только это, много чего для доказательства нуждается в сигма-аддитивности. Однако привязка функции распределения к непрерывности с именно одной стороны, а не с противоположной -- к сигма-аддитивности отношения не имеет.