Почти бином

[Yurixx]

Всем известно, что приведенная ниже сумма сворачивается в бином Ньютона:
$\sum\limits_{k=0}^{N} {C_N^k} {x^k} \, = \, {(1+x)^N}$

Я же, при попытке получить явный вид одного распределения, столкнулся с необходимостью свернуть другую сумму:
$\sum\limits_{k=0}^{M} {C_N^k} {C_L^k} {x^k}$ , где $M\, = \, minimum(N,L)$

Попытки опереться на какие-нибудь свойства сочетаний или самому преобразовать произведение двух сочетаний в формуле во что-нибудь более удобоваримое ни к чему не привели.
Поскольку я не математик, а физик, то остается еще надежда что просто не хватает образования. Может быть математики помогут.

[Sonic86]

Если честно, не знаю, что это даст, но можно попытаться так:
Если $f_N(x)=\sum\limits_{k=0}^N C_N^kx^k$, то $f'_N(x)=Nf_{N-1}(x)$, откуда можно $f$ искать рекуррентно.
Аналогично для второй суммы $f_{N,L}''(x)=NLf_{N-1,L-1}(x)$ - тоже можно попытаться искать рекуррентно

[Yurixx]

Да в общем $f_N(x)$ искать не нужно. Она представляет из себя полином N-й степени относительно x. Как в случае бинома Ньютона, так и в моем случае. Только сумма с $C_N^k$ сворачивается в бином Ньютона, а с ${C_N^k}{C_L^k}$ никак не сворачивается.
С точки зрения использования аналитического вида функции распределения, которая и составляет цель моих построений, это весьма неудобно.

[Leox]

Маple дает ответ через гипергеометрические ряды, не думаю что можно как то еще упростить

[Yurixx]

Что ж, у меня тоже сформировалось убеждение, что здесь как-то завязано гипергеометрическое распределение и большего не добиться.
Спасибо.