2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 16:02 


11/04/08
632
Марс
не могу понять доказательство одной известной теоремы из топологии:
Если отображение $ f: X \to Y $ топол. пространств непрерывно, то прообраз любого открытого множества открыт.
В учебнике Мищенко даётся доказательство. Если кратко, то:
Пусть $ V \subset Y, x \in f^{-1}(V) $. Тогда $ f(x) \in V $, т.е. $V$ - окрестность точки $f(x)$. Тогда по определению непрерывности $ \exists U(x): f(U) \subset V $, т.е. $ U \subset f^{-1}(V) $. И потом пишет: это означает, что множество $ f^{-1}(V) $.
Последную фразу я не понял. Откуда "это означает"?
И вообще мне пока не очень понятно, как мы можем узнать, что какое-то множество в топол. пространстве является открытым (ведь они полагаются открытыми по определению и никаких других признаков открытости до этой теоремы не приводится).

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:
Цитата:
Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.
(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Если в общем случае топологического пространства тоже справедливо это утверждение (только уже как теорема, а не определение), оно и будет недостающим звеном: $U(x)$ и есть окрестность $x$, содержащаяся в $f^{-1}(V)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 17:15 


11/04/08
632
Марс
svv в сообщении #599134 писал(а):
А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:
Цитата:
Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.
(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Увы, нет. Там окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку. А открытыми мы можем называть любые множества (лишь бы они удовлетворяли аксиомам топол. пространства).

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
spyphy писал(а):
окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку
Отлично. Значит, сами сейчас докажем.

Теорема. Пусть $S$ — множество точек, такое, что для каждой точки $x\in S$ существует её окрестность $U(x)\subset S$. Тогда $S$ открыто.

Доказательство. Рассмотрим объединение всех этих окрестностей: $P=\bigcup\limits_{x\in S}U(x)$
Докажем, что $S\subset P$. Пусть $x\in S$. Тогда $x\in U(x)$, но $U(x)\subset P$ следовательно, $x\in P$.
С другой стороны, $P\subset S$, так как $P$ есть объединение таких множеств $U(x)$, что $U(x)\subset S$.
Значит, $S=P$. Но так как $P$ есть объединение открытых множеств, оно открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

Надо же, я всегда думал, что указанная в самом начале теорема является просто определением непрерывной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение25.07.2012, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Тогда пришлось бы доказывать, что функция непрерывна $\Leftrightarrow$ она непрерывна в каждой точке. Естественней всё-таки это считать определением.

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение26.07.2012, 10:43 


11/04/08
632
Марс
ok, так более понятно стало.
Хотя действительно некоторые дают это как определение непрерывности, и тогда меньше доказывать надо )

 Профиль  
                  
 
 Re: непреревность отображения
Сообщение26.07.2012, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
spyphy в сообщении #599155 писал(а):
svv в сообщении #599134 писал(а):
А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:
Цитата:
Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.
(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Увы, нет. Там окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку. А открытыми мы можем называть любые множества (лишь бы они удовлетворяли аксиомам топол. пространства).
Определение открытого множества и окрестности зависит от способа введения топологии. Если этот способ таков, что первичным является понятие открытого множества, то окрестности точки (или множества) определяем как открытые множества, содержащие данную точку (или множество). Если первичными являются окрестности (как множества из некоторого набора подмножеств), то открытые множества определяем как Шутц. А вообще, способов введения топологии довольно много, так что и вариантов определений довольно много. Но они все эквивалентны, естественно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group