непреревность отображения

[spyphy]

не могу понять доказательство одной известной теоремы из топологии:
Если отображение $ f: X \to Y $ топол. пространств непрерывно, то прообраз любого открытого множества открыт.
В учебнике Мищенко даётся доказательство. Если кратко, то:
Пусть $ V \subset Y, x \in f^{-1}(V) $. Тогда $ f(x) \in V $, т.е. $V$ - окрестность точки $f(x)$. Тогда по определению непрерывности $ \exists U(x): f(U) \subset V $, т.е. $ U \subset f^{-1}(V) $. И потом пишет: это означает, что множество $ f^{-1}(V) $.
Последную фразу я не понял. Откуда "это означает"?
И вообще мне пока не очень понятно, как мы можем узнать, что какое-то множество в топол. пространстве является открытым (ведь они полагаются открытыми по определению и никаких других признаков открытости до этой теоремы не приводится).

[svv]

А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:

Цитата:

Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.

(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Если в общем случае топологического пространства тоже справедливо это утверждение (только уже как теорема, а не определение), оно и будет недостающим звеном: $U(x)$ и есть окрестность $x$, содержащаяся в $f^{-1}(V)$.

[spyphy]

svv в сообщении #599134 писал(а):

А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:

Цитата:

Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.

(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Увы, нет. Там окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку. А открытыми мы можем называть любые множества (лишь бы они удовлетворяли аксиомам топол. пространства).

[svv]

spyphy писал(а):

окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку

Отлично. Значит, сами сейчас докажем.

Теорема. Пусть $S$ — множество точек, такое, что для каждой точки $x\in S$ существует её окрестность $U(x)\subset S$. Тогда $S$ открыто.

Доказательство. Рассмотрим объединение всех этих окрестностей: $P=\bigcup\limits_{x\in S}U(x)$
Докажем, что $S\subset P$. Пусть $x\in S$. Тогда $x\in U(x)$, но $U(x)\subset P$ следовательно, $x\in P$.
С другой стороны, $P\subset S$, так как $P$ есть объединение таких множеств $U(x)$, что $U(x)\subset S$.
Значит, $S=P$. Но так как $P$ есть объединение открытых множеств, оно открыто.

[olenellus]

(Оффтоп)

Надо же, я всегда думал, что указанная в самом начале теорема является просто определением непрерывной функции.

[svv]

Тогда пришлось бы доказывать, что функция непрерывна $\Leftrightarrow$ она непрерывна в каждой точке. Естественней всё-таки это считать определением.

[spyphy]

ok, так более понятно стало.
Хотя действительно некоторые дают это как определение непрерывности, и тогда меньше доказывать надо )

[Someone]

spyphy в сообщении #599155 писал(а):

svv в сообщении #599134 писал(а):

А в Вашей книге нет чего-то аналогичного такому?:

Цитата:

Говорят, что множество точек $S$ в $R^n$ открыто, если каждая точка $\mathbf x$ из $S$ имеет окрестность, целиком содержащуюся в $S$.

(Бернард Шутц, Геометрические методы математической физики)

Увы, нет. Там окрестность определяется как открытое множество, содержащее данную точку. А открытыми мы можем называть любые множества (лишь бы они удовлетворяли аксиомам топол. пространства).

Определение открытого множества и окрестности зависит от способа введения топологии. Если этот способ таков, что первичным является понятие открытого множества, то окрестности точки (или множества) определяем как открытые множества, содержащие данную точку (или множество). Если первичными являются окрестности (как множества из некоторого набора подмножеств), то открытые множества определяем как Шутц. А вообще, способов введения топологии довольно много, так что и вариантов определений довольно много. Но они все эквивалентны, естественно.