Вверх по лестнице, ведущей вниз.

[NQD]

miflin в сообщении #600693 писал(а):

Какой смысл Вы вкладываете в слово "горизонтальном"?
А если мою картинку повернуть на 90 градусов, тоннель станет вертикальным?

Горизонтальный по отншению к координатным осям (нет, не к горизонту) - так удобнее для выражения угла. В принципе, задача была решена одной фразой gris'а:

gris в сообщении #600648 писал(а):

...надо построить кривую в декартовой системе координат такую, что направление нормали к ней, то есть угол между нормалью и осью ординат, как функция натурального параметра совпадает с углом между нормалью к хорде и продолжением радиус-вектора как функцией для хорды.

[miflin]

NQD в сообщении #600802 писал(а):

Горизонтальный по отншению к координатным осям

В этом случае корректнее использовать термины либо "перпендикулярный" (к оси ОУ),
либо параллельный (к оси ОХ).
Да и то, это справедливо только в момент, когда путешественник находится в точке В.
Именно для этого его положения на картинке изображена ориентация системы ХОУ.
Стоит ему переместиться, как оси его системы координат повернутся на
некоторый угол - ось ОУ всегда вертикальна!.
В этом и специфичность системы координат, в которой
ищется уравнение кажущейся кривой. Из-за локальной однородности поля
путешественник не замечает, что направление вертикали меняется.
Он перемещается "параллельно самому себе" и "с полным основанием доверяя
своему вестибулярному аппарату", считает, что ориентация системы ХОУ,
в которой он определяет уравнение кривой, остается неизменной.

[gris]

У меня возникло ещё один вариант задачи:
Представим, что человек стоит на роликовых коньках в самом начале такого прямолинейного и гладкого тоннеля в однородном шаре. Допустим, без вращения. Его сразу понесёт с ускорением к центру тоннеля, потом с замедлением к краю и назад. В таком случае, какова будет кривая?

[miflin]

gris в сообщении #600809 писал(а):

В таком случае, какова будет кривая?

Навскидку. Голова уже - одни опилки, поздно. :-)
Полагаю - та же самая. При потере равновесия человек начинает вращаться,
падая, относительно точки опоры - ступней. Вращательный момент создает
сила тяжести, приложенная в районе пупка. :-) Нормальная реакция опоры при этом
проходит через ступни и её момент равен нулю. Поэтому человек располагает
своё тело так, чтобы "пятка-пупок" находились на одной вертикали, как
и в статическом случае (когда добавляется сила трения и её момент тоже нулевой).
Возможно, проснувшись завтра, буду каяться. :-)

[miflin]

miflin в сообщении #600724 писал(а):

Ну, и вторая часть - небольшое обобщение.
Прямую линию (ось тоннеля) заменяем произвольной плоской кривой
(кривая и центр тяготения лежат в одной плоскости).
Как выглядят преобразования, переводящие эту реальную кривую
в кажущуюся?

Реальная кривая задана в полярной системе, начало которой совпадает с центром тяготения.

[Shtorm]

miflin в сообщении #600724 писал(а):

Ну, и вторая часть - небольшое обобщение.
Прямую линию (ось тоннеля) заменяем произвольной плоской кривой
(кривая и центр тяготения лежат в одной плоскости).
...

А потом будет третья часть - когда ось тоннеля не плоская кривая?

[miflin]

Shtorm в сообщении #601626 писал(а):

А потом будет третья часть

Не будет. Finita la comedia :-)
У этого преобразования
$\displaystyle dx=-\rho d \varphi$
$\displaystyle dy=d\rho$
кстати, есть свой "инвариант" - парабола с фокусом в центре тяготения.
Это обеспечивается её оптическим свойством.
Только она выворачивается при этом наизнанку.

[Shtorm]

miflin в сообщении #601647 писал(а):

Shtorm в сообщении #601626 писал(а):

А потом будет третья часть

Не будет. Finita la comedia
....

А почему? там уже не решается в элементарных функциях?

А кстати, практическая значимость прямолинейного такого тоннеля: проделать такой от Москвы до Владивостока и пустить скорый поезд - насколько путь сократится!! Кстати, а на сколько км он станет короче?

[miflin]

Shtorm в сообщении #601691 писал(а):

А почему? там уже не решается в элементарных функциях?

Может и решается... Не знаю. Задача слишком уж надуманная.
Главное - вовремя остановиться. :-)
Единственное, что действительно реально и интересно - это здесь.

Shtorm в сообщении #601691 писал(а):

А кстати, практическая значимость прямолинейного такого тоннеля: проделать такой от Москвы до Владивостока и пустить скорый поезд - насколько путь сократится!! Кстати, а на сколько км он станет короче?

Прикиньте. А вообще, имхо, овчинка выделки не стоит, как только начинаешь
думать о практической реализации.

[Munin]

Shtorm в сообщении #601691 писал(а):

А кстати, практическая значимость прямолинейного такого тоннеля: проделать такой от Москвы до Владивостока и пустить скорый поезд - насколько путь сократится!! Кстати, а на сколько км он станет короче?

Интересней другое - такой поезд, если движется только под действием собственной тяжести (и без трения), будет всегда проходить путь примерно за 40 минут, независимо от того, между какими точками на Земле проложен туннель.

-- 01.08.2012 00:27:00 --

P. S. Если Земля однородно плотная, что не так :-)

[miflin]

Munin в сообщении #601705 писал(а):

если движется только под действием собственной тяжести (и без трения)

И что ещё интересно - совершает гармонические колебания без всяких
приближений, которые имеют место в случае математического маятника.

[Munin]

А. Допёр. Да, тогда это уже не так интересно, скорее банально.

[miflin]

Munin в сообщении #601717 писал(а):

А. Допёр. Да, тогда это уже не так интересно, скорее банально.

В. Не допёр :-) . Не имел в виду своим предыдущим сообщением как-то
пригасить Ваше "Интересней другое". Почему стало банально?
Кстати, период колебаний совпадает с периодом обращения спутника
на нулевой высоте.

[Munin]

Просто я сообразил, что речь попросту идёт о движении в потенциале $U=x^2+y^2+z^2.$ Который, как его ни протыкай прямой линией, даёт один и тот же одномерный потенциал $U=x^2.$ Который обладает очевидными свойствами точной гармоничности и равнопериодичности колебаний. То есть, попросту чудо рассыпалось в набор хорошо известных фактов. И спутник туда же. Жалко чуда, я думал, это что-то любопытное... С другой стороны, я сам виноват, запомнил эту штуку как "чудо", а пересматривать её с высоты новых знаний и не пробовал.