Вверх по лестнице, ведущей вниз.

[miflin]

Я этой задачкой в разное время, на разных форумах (и под разными никами :) )
морочил голову разным людям. В ответ - либо непонимание, либо разговор около.
Делаю последнюю попытку. Практического значения задача не имеет.
Так, забава для ума, не более. Меня она привлекла тем, что в решении
получаются простые, изящные и, главное, бесполезные выражения,
за которые нет необходимости нести практическую ответственность.:)
Лестница, упомянутая в названии темы - воображаемая, например -
между Луной и Землей. Двигаясь по ней от Земли до Луны в одном направлении,
путешественник, с точки зрения вестибулярного аппарата, часть пути движется
в одном направлении - "вверх", а часть в противоположном - "вниз".
Но задача, конечно, не о лестнице, это лишь одна из иллюстраций того,
в каком направлении ветер дует.:)

Излагаю первую часть.

Задача. В Земле по хорде просверлен тоннель. По нему шагает
путешественник. Из-за того, что сила притяжения в разных точках
тоннеля направлена под разными углами к его оси, вестибулярный
аппарат путешественника создаст иллюзию движения по вогнутой
кривой. Первую половину пути он будет опускаться, вторую - подниматься.
Каково уравнение этой кажущейся, несуществующей кривой?



На картинке это уравнение написано - гиперболический косинус.
Как я его получил - пока не пишу. Хотелось бы сравнить свой подход к
решению с чьим-то, буде кому интересно.

[triod]

Сила действующая на человека идущего по тоннелю,зависит от расстояния до центра Земли.
В идеале и должно получиться нечто вроде уравнения цепной линии.

[miflin]

triod в сообщении #600446 писал(а):

Сила действующая на человека идущего по тоннелю,зависит от расстояния до центра Земли.
В идеале и должно получиться нечто вроде уравнения цепной линии.

Можно подробнее - как Вы пришли к этому выводу?

[Shtorm]

miflin, на Вашем рисунке - траектория движения человека по тоннелю - это прямая. Как можно преобразовать систему координат, чтобы там была траектория кажущегося движения?

[miflin]

Представьте себе, что Вы на самолете перелетели с полюса на экватор
вдоль меридиана. Вы понимаете, что переместились по дуге
окружности, что положения вашего тела в точках старта и финиша
составляют между собой угол 90 градусов, но вы не ощущаете этого.
Весь перелет воспринимается как параллельное перемещение вдоль прямой.
Т.е. в некой системе координат дуга окружности воспринимается как
прямая (Земля плоская! :-) ). Что это за система координат? - отвечу
вопросом на вопрос.

[Shtorm]

miflin в сообщении #600587 писал(а):

...Весь перелет воспринимается как параллельное перемещение вдоль прямой.
Т.е. в некой системе координат дуга окружности воспринимается как
прямая (Земля плоская! ). Что это за система координат? - отвечу
вопросом на вопрос.

Это система координат, связанная с диспетчерским пультом наблюдения за движением самолёта (если только аппроксимировать ломаную - прямой) и система, связанная с приборами самолёта - поскольку бортовые приборы показывают высоту и координаты (x,y) по плоской карте - то есть градусы широты и долготы. (для простоты будем считать, что самолёт 99 % пути летит на одной высоте)

[miflin]

Shtorm в сообщении #600599 писал(а):

Это система координат, связанная с диспечерским пультом наблюдения за движением самолёта

Ну а как диспетчерский пульт связан с нашим субъективным восприятием?
Вы в полете думаете о нем?
Хорошо. Зайдем с другой стороны. Вы идете пешком. Вы ощущаете, что
движетесь по дуге?

[Shtorm]

miflin в сообщении #600603 писал(а):

Shtorm в сообщении #600599 писал(а):

Это система координат, связанная с диспечерским пультом наблюдения за движением самолёта

Ну а как диспетчерский пульт связан с нашим субъективным восприятием?

Никак не связан.

miflin в сообщении #600603 писал(а):

Вы в полете думаете о нем?

Нет.

miflin в сообщении #600603 писал(а):

Хорошо. Зайдем с другой стороны. Вы идете пешком. Вы ощущаете, что
движетесь по дуге?

Нет. Но!!! Если я буду рисовать свою траекторию движения из пункта A в пункт B в масштабах Земного шара, то конечно я нарисую дугу. Ну и с другой стороны. Если мы рисуем на координатной сетке тректорию движения человека пересекающего ровное поле - то мы рисуем прямую, но мы знаем, что на самом деле - это дуга. Просто аппроксимируем.

-- Сб июл 28, 2012 23:09:31 --

Видимо нужно связать систему отсчёта с самим человеком, тогда человек условно находится на месте, а земля под ногами движется. Тогда, сколько бы человек на прошёл сотен километров - движение прямолинейное. То есть это равносильно тому, что из Земной сферы вырезали кольцо. Кольцо распрямили и вот по этой дорожке якобы движется человек.

[Munin]

(Оффтоп)

miflin
Аплодирую вашему воспитательскому усердию!

[NQD]

Сила притяжения в разных точках тоннеля всегда направлена к центру Земли, за исключением, разумеется самого центра, где направленность не определена. Воспринимаемый путешественником угол подъема/спуска определяется, как угол между радиусом и хордой и зависит от $x$ и $p$. При горизонтальном расположении тоннеля $\alpha=\arctg\frac{x}{p}$. Далее становится неясно - как Вы определяете "воображаемую кривую"?

[gris]

Я думаю, что имеется в виду вот что: надо построить кривую в декартовой системе координат такую, что направление нормали к ней, то есть угол между нормалью и осью ординат, как функция натурального параметра совпадает с углом между нормалью к хорде и продолжением радиус-вектора как функцией для хорды.
Правда тут на формирование субъективного ощущения влияет только направление силы тяжести. А вот как быть с его модулем? Ведь в середине глубоко залегающего гипотетического тоннеля вес человека будет уменьшаться. Но это уменьшение не будет зависеть от скорости, тогда как при движении по выпуклой кривой будет зависеть не только модуль, но и знак изменения веса.
Но при малой скорости движения и неглубоких тоннелях можно ограничиться только направлением нормали.
Дифур?

[miflin]

Shtorm в сообщении #600612 писал(а):

Видимо нужно связать систему отсчёта с самим человеком,

Да, но весьма специфическим образом, не в традиционном смысле,
как это обычно принято.

NQD в сообщении #600645 писал(а):

При горизонтальном расположении тоннеля...

Какой смысл Вы вкладываете в слово "горизонтальном"?
А если мою картинку повернуть на 90 градусов, тоннель станет вертикальным? :-)

gris в сообщении #600648 писал(а):

Я думаю, что имеется в виду вот что: надо построить кривую в декартовой системе координат такую, что направление нормали к ней, то есть угол между нормалью и осью ординат, как функция натурального параметра совпадает с углом между нормалью к хорде и продолжением радиус-вектора как функцией для хорды.

Лед тронулся! :-)

gris в сообщении #600648 писал(а):

А вот как быть с его модулем?

Рассматриваем статическую задачу.

gris в сообщении #600648 писал(а):

Дифур?

У меня получилось чуть больше, чем дифур, но в конечном итоге - да, дифур.

Я пока постою в сторонке, может к вечеру всё будет разрулено.
Вечером, по свободе, отпишусь, ещё картинки надо нарисовать...

[gris]

Я бы обозначил через $s$ расстояние от середины тоннеля, то есть путь по нему.
Тогда угол отклонения путника от нормали к полу тоннеля равен $\arctg\dfrac sp$
Если мы построим в декартовой системе координат нашу кривую (достаточно гладкую по презумпции невинности), описываемую уравнением $y=f(x)$, то этот угол будет углом наклона касательной к оси абсцисс в точке, длина дуги до которой равна $s$.
То есть кривулька должна удовлетворять условию.
$f'(x)=\dfrac {L(x)}p$
Выразим длину дуги через интеграл.
Не так?

$p\cdot f'(x)=\int\limits_0^x \sqrt{1 + {f'}^2(t)}\, dt$

Осталось продифференцировать и пару раз поинтегрировать?

[miflin]

miflin в сообщении #600693 писал(а):

Я пока постою в сторонке, может к вечеру всё будет разрулено.

Ещё и быстрее!
Спасибо, gris. Вы, кажется, избавили меня от необходимости:

miflin в сообщении #600693 писал(а):

Вечером, по свободе, отпишусь, ещё картинки надо нарисовать...

Хотя я не отказываюсь, если вдруг кого-то заинтересуют нюансы.

gris в сообщении #600701 писал(а):

Осталось продифференцировать и пару раз поинтегрировать?

И выбрать начальные условия. :-)

Ну, и вторая часть - небольшое обобщение.
Прямую линию (ось тоннеля) заменяем произвольной плоской кривой
(кривая и центр тяготения лежат в одной плоскости).
Как выглядят преобразования, переводящие эту реальную кривую
в кажущуюся?

[miflin]

Вспомнился один момент, когда я непосредственно оказался в кратковременной
ситуации, когда направление вертикали на короткое время изменилось.
Летел на самолете и смотрел в боковой иллюминатор. Вдруг линия горизонта
резко взмыла вверх - самолет начал делать поворот перед посадкой.
Вот только по этому я понял, что выполняется поворот. Никаких
"вжиманий в стенку" как в автомобиле. При повороте возникает центростремительное
ускорение, которое, складываясь (точнее, векторно вычитаясь) с ускорением
свободного падения, создает комбинированную силу тяжести, направление
которой, в отличие от случая с автомобилем, по-прежнему направлено
перпендикулярно плоскости сидения, т.к. самолёт накреняется при повороте.
Конечно, с точки зрения кинематики, безразлично, что относительно чего
изменило положение. Однако наблюдатель с земли видит накренившийся самолет,
в то время как для меня, понимающего это, тем не менее
"земля завалилась набок", а "самолет горизонтален".