математическое ожидание распределения

[gris]

Функция распределения уж во всяком случае монотонна.
И на плотность не тянет: площадь под графиком явно больше 1,4.

[Shtorm]

Да. Я когда написал то сообщение - тут же об этом вспомнил. Просто не привык, чтобы в Теории вероятности давался график без обозначений.

-- Ср июл 18, 2012 23:27:57 --

gris в сообщении #596818 писал(а):

И на плотность не тянет: площадь под графиком явно больше 1,4.

Значит глюк преподавателя. Я помню у нас тоже, на зачёте, преподаватель от балды пишет плотность в виде кусочно-заданной функции - и там такая белиберда выходит!!!

[--mS--]

gris в сообщении #596818 писал(а):

И на плотность не тянет: площадь под графиком явно больше 1,4.

Ну, картинку-то студент явно сам рисовал, так что разметка на его совести и не имеет отношения к вопросу :)

[gris]

Знаем мы этих преподавателей по ТВ. Наверняка специально такую хитрую задачу придумали. Если студент про хвосты (не свои!) начнёт, то пятёрка. Если увидит, что площадь больше 1, то четвёрка. Если сумеет отличить функцию распределения от плотности, то трояк.

[--mS--]

Неутешительная отметка у ТС получается

[eugrita]

svv в сообщении #596402 писал(а):

Если $p_X(x)$ симметрично относительно $x=0$, то $\textsf MX=0$.

Хотелось бы так думать, только в википедии и в куче учебников про распределение Коши $C(0,1)$ плотность которого симметрична
$p(x)=\frac{1}{1+x^2}$
пишут что матожидание не существует. а в других - что существует и =0.
Конечно это такая гадость, где несобственный интеграл существует в смысле главного значения.
Вот так-то -надо наводить порядок в терминологии - когда существует матем ожидание (дисперсия) непрерывной с.в.? Когда несобственный интеграл сходится (т.е. при независимо меняющихся верхнем и нижнем пределе $a \rightarrow -\infty, b \rightarrow \infty$) или интеграл сходится в смысле главного значения т.е. когда $a=-b$

[--mS--]

Не надо тут ничего наводить. И не надо читать учебников, написанных выпускниками сельхозинститута для своих же студентов. Надо изучить интеграл Лебега (или Лебега-Стилтьеса) и всё станет понятно.
Существование математического ожидания - это абсолютная сходимость интеграла, и ничего больше: $\mathsf EX$ существует $\Leftrightarrow \, \mathsf E|X|<\infty$ . Как вариант, можно обзывать математическое ожидание плюс-минус бесконечным, если сходится ровно один соответствующий из интегралов от положительной или отрицательной частей подынтегральной функции. Но не когда оба сразу бесконечны.
Товарищи, у которых существует матожидание у распределения Коши, никогда не слышали о законе больших чисел и об устойчивости Коши по сложению, иначе обнаружили бы сразу у себя противоречие.

[eugrita]

С замечанием об интеграле Лебега согласен. (Хотя 95 % студентов его не знают)
Тогда исправляйте даже не учебники а википедию, иначе сколько студентов обманутся
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E0%F1%EF%F0%E5%E4%E5%EB%E5%ED%E8%E5_%CA%EE%F8%E8

[ewert]

--mS-- в сообщении #760319 писал(а):

Надо изучить интеграл Лебега (или Лебега-Стилтьеса) и всё станет понятно.
Существование математического ожидания - это абсолютная сходимость интеграла, и ничего больше: $\mathsf EX$ существует $\Leftrightarrow \, \mathsf E|X|<\infty$ .

Лебег -- это, конечно, замечательно, но совершенно никому не нужно и уж во всяком случае не имеет никакого отношения к вопросу о сходимости.

[--mS--]

А никаких вопросов о сходимости и не было. Был вопрос о существовании матожидания. Ответ см. выше. Почему надо было выделять особо непрерывные (абсолютно непрерывные, видимо) распределения, не ведаю, поэтому ответ пригоден для всех случаев жизни. И Лебег тут при чём.

Исправлять википедию будет тот, кому это надо. Я, помнится, туда никакой чуши не писала, и мои коллеги тоже, так что это, наверное, не к нам.

[ewert]

--mS-- в сообщении #760419 писал(а):

А никаких вопросов о сходимости и не было. Был вопрос о существовании матожидания.

Это один и тот же вопрос.

[--mS--]

И что не устраивает в Лебеге? Опять будете толкать идею о достаточности (не помню уже, для каких целей) сходимости в смысле главного значения?

[ewert]

Просто Лебег не имеет никакого отношения к главному значению, это совершенно ортогональные идеи. Лебег для функции распределения не нужен совершенно, там вполне достаточно Стилтьеса-просто-Римана. И, перпендикулярно этому: считать ли матожидание в смысле главного значения допустимым или не считать -- вопрос совершенно схоластический. Ну удобнее не считать.

[--mS--]

Да ради бога, пользуйтесь Риманом (Р.-С.), если Вас устраивает вычисление математических ожиданий исключительно от функций ограниченной вариации. А вероятностники будут пользоваться интегралом Лебега (Л.-С.).

[ewert]

А ФР -- она по определению ОВ. Я Вам даже хуже того скажу: подавляющему большинству народонаселения даже и Стилтьес ни к чему. Я пару раз пытался его ввести (уже опосля, конечно, как обобщение); но сильно не уверен, что корм пришёлся в коня.